Question

为什么因为i = i * 2是以下循环的运行时被认为是O（logN）？

for (int i = 1; i <= N;) {
  code with O(1);
  i = i * 2;
}

Answer 1

看1024 = 2 ¹⁰。你有多少次将数字1加倍才能获得1024？

Times    1   2   3   4    5    6    7    8     9      10
Result   2   4   8   16   32   64  128  256   512    1024

所以你必须运行你的双倍循环十次才能得到2 ¹⁰一般来说，你必须运行双倍循环n次以获得2 ⁿ。但是什么是n？它是log ₂ 2 ⁿ，所以通常如果n是2的幂，则循环必须运行log ₂ n次到达它。

Answer 2

要将算法放在<IfModule mod_rewrite.c> RewriteEngine on RewriteCond %{REQUEST_FILENAME} !-f RewriteCond %{REQUEST_FILENAME} !-d RewriteRule ^api/(.*)$ api.php/$1 [L] </IfModule>中，对于任何N，它需要（周围）记录N个步骤。在N = 32（其中log 32 = 5）的例子中，可以看到：

O(logN)

通常，在i = 1 (start) i = 2 i = 4 i = 8 i = 16 i = 32 (5 iterations) i = 64 (abort after 6 iterations)次迭代后，x成立。要获得i=2^x，您需要i>N。

PS：谈到复杂性时，x = log N + 1基数（2,10，e，...）不相关。此外，如果您有log或i <= N，则无关紧要，因为这只会将迭代次数更改为1。

Answer 3

你可以很简单地证明它。

权利要求：对于t（0 base）迭代，i=2^t 证明，通过归纳。

Base：2^0 = 1，确实在第一次迭代中i=1。

步骤：对于某些t+1，i的值为2*i(t)（其中i(t)是i中t的值迭代）。从归纳假设我们知道i(t)=2^t，因此i(t+1) = 2*i(t) = 2*2^t = 2^(t+1)，并且声明成立。

现在，让我们来看看我们的停止标准。我们在i <= N时迭代循环，并且从上面的声明中，这意味着我们在2^t <= N时迭代。通过双方执行log_2，我们得到log_2(2^t) <= log_2(N)，自log_2(2^t) = t以来，我们得到的是t <= log_2(N)时的迭代 - 所以我们迭代Theta(log_2(N))次。（结论证明）。

Answer 4

我从 1 开始，然后在每次迭代中将它乘以 2 ，这意味着：

在某些 K 中， 2 ^（K-1）将比 N 更大（或相等）。

这意味着 N <= 2 ^（K-1）

这意味着 log（N）＆lt; = K-1

K-1 将是您的循环运行的迭代次数，因为 K-1 大于或等于 log（N），你的算法是对数的。

为什么像i = i * 2这样的代码在循环中被认为是O（logN）？

4 个答案: