记忆斐波那契的时间复杂性？

Question

我有memoization fibonacci代码，我无法弄清楚它的时间复杂性：

function fibMemo(index, cache) {
  cache = cache || [];
  if (cache[index]) return cache[index];
  else {
    if (index < 3) return 1;
    else {
      cache[index] = fibMemo(index - 1, cache) + fibMemo(index - 2, cache);
    }
  }

  return cache[index];
}

这个功能的时间复杂度是多少？

Answer 1

取决于你的意思。

假设记忆正确完成了＆＃34;操作＆＃34;将是生成的数字的数量。这意味着函数运行时会相对于您尝试生成的数字量而增长。

所以它是O（n），其中n是生成的数字的数量。

Answer 2

假设T(n)是n的时间复杂度，所以T(n) = T(n-1) + T(n-2)。因为在计算F(n-2)时cache在F(n - 1)中，所以F(n-2)的运算为1（从cache读取），因此T(n) = T(n-1) + 1 = T(n-2) + 2 = ... = T(n-n) + n 。 T(0)是1，所以T(n) = O(n + 1) = O(n)。

Answer 3

无备忘录

我认为当您不使用记忆时，在您的脑海中清楚一幅呼叫树的样子会很有帮助。例如，fib(5)的外观如下：

此算法的时间复杂度是多少？好吧，我们叫fib()多少次？要回答这个问题，请考虑树的每个级别。

第一级有一个呼叫：fib(5)。下一级别有两个调用：fib(4)和fib(3)。下一级有四个。等等等等。每个节点都分支为另外两个节点，因此为2*2*2... = 2^n。好吧，它是O(2^n)，通常不是完全2^n。您可以看到，这里的第4级缺少一个节点，而第5级只有一个节点。

带有备忘录

现在考虑备忘录的外观。使用备忘录时，您会记住以前计算的结果。所以看起来像这样：

那些带有正方形的对象只是返回记录的结果。如果您忽略它们，则可以看到该算法只是针对0到n中的每个值被调用一次。

好吧，fib(1)确实被称为“额外”一次，但是由于我们在这里考虑big-O，所以它不会改变任何事情。与周围带有正方形的调用相同。即使我们希望包括它们，也​​仍然是O(n)。

要向自己证明这一点并使其直观，请尝试为大于fib(5)的内容写出一个调用树。可能是fib(10)或fib(20)。您会看到，如果您起眼睛，那基本上就是对角线向下和向左移动的形式。可能到处都有一些额外的分支萌芽，但基本上是一条线。