Question

考虑到对于n> 1，fib（n）= fib（n-1）+ fib（n-2）并且给定fib（0）= a，fib（1）= b（一些a，b> 1）。 0），以下哪一项是正确的？

fib(n) is 

Select one or more:
a. O(n^2)
b. O(2^n)
c. O((1-sqrt 5)/2)^n)
d. O(n)
e. Answer depends on a and b.
f. O((1+sqrt 5)/2)^n)

解决Fibonacci序列我得到了：

fib(n)= 1/(sqrt 5) ((1+sqrt 5)/2)^n - 1/(sqrt 5) ((1-sqrt 5)/2)^n

但在这种情况下，时间复杂度会是多少？这是否意味着答案是c和f？

Answer 1

在您的公式的封闭形式中，1 / (sqrt 5) ((1 - sqrt 5) / 2)^n一词的限制为0，因为n增长到无穷大（|(1 - sqrt 5) / 2| < 1）。因此我们可以忽略这个术语。此外，由于时间复杂性理论，我们不关心多重常数，以下是正确的：

fib（n）=Θ（φ^ n）

其中φ= (1 + sqrt 5) / 2 a.k.a。golden ratio constant。

所以它是一个指数函数，我们可以排除a, d, e。我们可以排除c，因为据说它有限制0。但回答b也是正确的，因为φ < 2和O表达了上限。

最后，正确的答案是：

b，f

Answer 2

当a=1 and b=1或a=1 and b=2时，

Θ（φ^ n）是正确的。 The value of φ depends on a and b。

对于计算fib（n-1）和fib（n-2），如果我们递归计算它们的复杂度为exponential，但如果我们保存两个最后的值并使用它们，则复杂性为O(n)并且不取决于a和b。