Fibonacci的大O有记忆吗？

Question

当我运行这个程序时，它似乎是O（1）因为它几乎是非常大的数字而没有记忆。如果它正在计算之前的数字，那么它所要做的只是添加它的结果是O（1）？

memo = {}
def Fib(n):
    if (n < 2):
        return 1
    if not n in memo:
        memo[n] = Fib(n-1) + Fib(n-2)
    return memo[n]

我还将它与没有记忆的斐波纳契程序进行了比较，这里是1到40的情节结果：

Answer 1

首先，您的算法的下限是O(n)，因为对于给定的n，您填充了一个带有n值的字典（假设我们正在处理对{的第一次调用{1}}）。

另一方面，Fib函数内的每个n每个操作都会Fib分摊O(1)。总而言之，您可以{{1>} Fib <{> 1}} 第一次致电。

请注意，对于较大的O(n)，这可能高于n，因为O(n)操作不是not in（仅O(1)已摊销）。 O(1)有多大？不知道，取决于底层的散列函数。另外，在达到n之前，您的内存可能会耗尽。

现在这显然是以空间（即存储器）为代价而变成n。这只是假设每个整数占用相同数量的空间，遗憾的是不适用于Python。 “无限制整数”方法的结果是大整数作为数字数组保存在内存中。由于数字O(n)最多有n个数字（其中log_b(n)+1是数字系统，例如b代表十进制，我不确定哪个Python内部使用）我们得到实际空间复杂度介于10和O(n)之间。

如果我们不关心它是否是第一次通话，事情会变得更复杂。但只是一点点。您可以轻松检查O(log_b(n!)) Fib的复杂程度，其中O(max(n-k, 1))是调用时k字典的大小。

将其与例如迭代方法进行比较。在该方法中，您始终保留最后两个元素和一个计数器。这样，您就会获得memo时间复杂度和O(n)空间复杂度。

当然，对于天真的递归Fibonacci，时间复杂度为O(1)，空间复杂度为O(2^n)（由于调用堆栈）。

Answer 2

我的感觉是它仍然是O（n），比如你计算Fin（100），你需要在得到100之前计算所有的数字。当然，如果之前的运行已经完成，那么你将拥有它记忆，但对于你能想象的任何数字并且已经执行过一次，我可以想象一个更大的一个:)

也许你可以说它是O（1）摊销的（与java中的ArrayList的O（1）相同，以获得一个元素......实际上它是O（n），因为你可能需要调整大小数组，但通常情况并非如此，因此O（1）是一个“可接受的”度量。）