Question

我从不同的教程站点上看到了Fibonacci的几种解决方案，我注意到的一件事是，它们具有通过递归函数解决问题的相同方法。我测试了递归函数，它花了77秒才获得列表中的第40个项目，因此我尝试制作一个函数而不通过for循环处理递归函数，并且只用了不到一秒钟的时间。我说对了吗？我的功能的O符号是什么？

from time import time


def my_fibo(n):
    temp = [0, 1]
    for _ in range(n):
        temp.append(temp[-1] + temp[-2])
    return temp[n]


start = time()
print(my_fibo(40), f'Time: {time() - start}')
# 102334155 Time: 0.0

vs

from time import time
def recur_fibo(n):
    if n <= 1:
        return n
    else:
        return recur_fibo(n - 1) + recur_fibo(n - 2)


start = time()
print(recur_fibo(40), f'Time: {time() - start}')
# 102334155 Time: 77.78924512863159

Answer 1

您所做的是时空权衡的一个示例。

在第一个（迭代）示例中，您有一个O（n）时间算法，该算法也占用O（n）空间。在此示例中，您存储了值，因此您无需重新计算它们。

在第二个（递归）示例中，您有一个O（2 ^ n）时间的算法（有关更多详细信息，请参见Computational complexity of Fibonacci Sequence），该算法也占用了堆栈上的大量空间。

在实践中，后一个递归示例是处理Fibonacci序列的“幼稚”方法，存储先前值的版本明显更快。

Answer 2

对于big-O，答案就在上面：在您展示的经典递归实现中，该函数在每次遍历中两次调用自身。

在下面的示例中，我编写了一个递归函数，该函数在每次通过中仅调用一次，因此它也具有O（n）：

def recur_fibo3(n, curr=1, prev=0):
    if n > 2: # the sequence starts with 2 elements (prev and curr)
        newPrev = curr
        curr += prev
        return recur_fibo3(n-1, curr, newPrev) # recursive call
    else:
        return curr

它与n的增加呈线性关系，但比正常循环慢。

此外，您还可以注意到，两个递归函数（经典函数和上一个函数）都没有存储整个序列供您返回。您的循环函数可以执行此操作，但是如果您只想检索序列中的第n个值，则可以编写一个更快的函数，如下所示：

def my_fibo2(n):
    prev1 = 0
    prev2 = 1
    for _ in range(n-2):
        curr = prev1 + prev2
        prev2 = prev1
        prev1 = curr
    return curr

使用%timeit来衡量执行时间，我们可以看到哪个更快。但是它们在正常情况下都足够快，因为您只需要计算一次长序列并将结果存储起来以备后用...：）

Time to return the 100th element in Fibonacci series

my_fibo(100)
10.4 µs ± 990 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100000 loops each)

my_fibo2(100)
5.13 µs ± 1.68 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100000 loops each)

recur_fibo3(100)
14.3 µs ± 2.51 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100000 loops each)

============================================
Time to return the 1000th element in Fibonacci series

my_fibo(1000)
122 µs ± 10.5 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10000 loops each)

my_fibo2(1000)
82.4 µs ± 17.3 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10000 loops each)

recur_fibo3(1000)
207 µs ± 19.5 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000 loops each)

斐波那契：时间复杂度和大O表示法

2 个答案: