如果g（n）= sqrt（n）^ sqrt（n），g（n）的复杂度是否为O（2 ^ n）？

Question

如果g（n）= sqrt（n） ^sqrt（n），g（n）的复杂度是否为O（2 ⁿ ）？

感谢任何帮助。

Answer 1

比较两个指数函数时的一个有用技巧是让它们具有相同的基数：

  

√n^√n =（2 ^lg√n）^√n = 2 ^√nlg√n

现在你将2 ^√nlg√n与2 ⁿ 进行比较，希望从中可以很容易地看出前者的功能不会像后者那样快速增长，所以√n^√n = O（2 ⁿ ）确实是正确的。

Answer 2

其他证明很短且很好，但是这里有更详细的证据，用于描述大符号和计算所需的限制。

函数10 print i : 20 由另一个函数g(n)通过大写符号（f(n)）上限，如果它保持 （source）

加入函数，我们必须计算

首先在g(n) = O(f(n))术语上进行一些代数按摩。根据身份，它保留g(n)。此外，它认为sqrt(n) = n^(1/2)。有了这个：

此外，对数标识(x^a)^b = x^(a*b)为2^n，然后exp(log( 2^n ))为log(a^b) = b*log(a) 2^n = exp(log( 2^n )) = exp(n * log(2))。同样可以应用于n^(1/2 sqrt(n))，它变为exp(log( n^(1/2 sqrt(n)) = exp(1/2*sqrt(n)*log(n))。所以我们现在有了

此时我们可以比较指数的增长，即比较

该限制为0，因为const * n增长速度超过sqrt(n)*log(n)。这可以反过来显示明确地计算限制。将1/2和log2放在分子中。自n = sqrt(n) * sqrt(n)起，我们可以将其简化为：

此限制确实为零，因为Orders of common functions的平方根比对数增长得更快。因此，较低函数的指数增长得比较高函数的指数增长得快。因此，第一个定理严格证明了g(n) = O(2^n)。

Answer 3

可以假设O(log n) < O(sqrt(n))（Order of common functions - wikipedia）

转换的工作原理如下：

sqrt(n)^sqrt(n)                2^n              # a^b = e^(ln(a) * b)
e^(ln(sqrt(n)) * sqrt(n))      e^(ln(2) * n)    # if e^a < e^b, then a < b
ln(sqrt(n)) * sqrt(n)          ln(2) * n        # / sqrt(n)
ln(sqrt(n))                    ln(2) * sqrt(n)  # ln(a^b) = b * ln(a)
0.5 ln(n)                      ln(2) * sqrt(n)  # ln(a) / ln(b) = log(a base b)
0.5 log(n base 2)              sqrt(n)          # base and constant factor don't matter
log(n)                         sqrt(n)

为简单起见，我省略了复杂性类。上面应该从下到上阅读以获得适当的证据。