渐近时间复杂度O（sqrt（n）log（n）n）

Question

for(int i=1; i*i <= n; i = i+1) {
   for(int j = n; j >= 1; j/4)   {
      for(int k = 1; k <= j; k=k+1) {
         f();
      }
   }
}

为什么此函数O(n^{3/2})的渐近复杂性？我认为应该是O(sqrt(n)log(n)n)。 O(sqrt(n)n)是否相同？然后就是O(n^{3/2}) ..

• 外循环为O(sqrt(n))。
• 第一个内部循环是O(log(n))。
• 第二个内部循环为O(n)。

Answer 1

外部两个循环（在i和j上的边界取决于n，但是内部循环（在k上）的边界由{{1 }}，而不是j。

请注意，内部循环迭代n次；假设j为f()，则内部循环的成本为O(1)。

尽管中间循环（遍历O(j)）迭代了j次，但O(log n)的实际值是一个geometric series，以j开头。由于此几何级数（n）总计为n + n/4 + n/16 + ...，因此中间循环的成本为4/3*n。

由于外部循环迭代O(n)次，因此总费用为sqrt(n)