Question

我想知道，n的指数必须低于n*log(n)（换句话说，n^c？n * log(n, 2)的渐近线，有多低c算法必须使用n^c算法效率而不是n log n算法。我看到它是 + - 高于 1.10，但我想知道如何解决这个问题。

我试过，我在数学上很糟糕，我希望能有一个数学解释。谢谢！

Answer 1

如果~=表示等效，那么

 O(n^c) ~= O(n*log(n))

表示

 lim ((n^c) / (n * log(n)) = const <> 0
   n -> +inf

请注意，log2(n) = logK(n) / logK(2)其中1 / logK(2)是常数因素;这就是O(n*log2(n)) == O(n*logK(n))的原因，我们可以选择我们喜欢的任何基础 K。使用自然对数（K = e）是很方便的。

当上面的限制是非零 c时，让我们找出相应的const（实际上，const是正值）：

 lim ((n^c) / (n * log(n)) = lim n^(c - 1) / log(n) = 
   n -> +inf                   n -> +inf

现在让我们使用L'Hôpital's rule。提供c <> 0（在这种特殊情况下为d(n^(c - 1))/dn = d(n^-1)/dn = log(n)的衍生物）

 lim (c - 1) * n^(c - 2) / (1 / n) = lim (c - 1) * n^(c - 1) = (c - 1) * lim n^(c - 1) = 
   n -> +inf                           n -> +inf                           n -> +inf

限制lim n^(c - 1)是

        0 if c < 1
    const if c = 1 <- we want this case
     +inf if c > 1

所以我们想要c = 1个案，最后我们有

    (c - 1) * lim n^(c - 1) = /* c = 1 */ = (1 - 1) * const = 0
                n -> + inf

唉！ 没有c持有的 O(n^c) ~= O(n*log(n))。我们有

    O(n^c) < O(n*log(n)) // when c <= 1
    O(n^c) > O(n*log(n)) // when c > 1

请注意，c ...

时没有O(n^c) ~= O(n*log(n))

O（n ^ c）〜= O（n * log n），哪个值有c？

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