Question

我的教授刚刚告诉我们，任何将输入长度减半的操作都有O（log（n））复杂度作为拇指规则。为什么不是O（sqrt（n）），它们都不是等价的？

Answer 1

它们不等价： sqrt（N）比 log ₂（N）增加更多。没有常数 C ，因此您将拥有 sqrt（N）＆lt; C.log（N）， N 的所有值都大于某个最小值。

获取此功能的一种简单方法是， log ₂（N）将是一个接近 N <（二进制）位数的值/ em>，而 sqrt（N）将是一个数字，其自身的数字是 N 的数字的一半。或者，说出平等：

log ₂（N）= 2log ₂（sqrt（N））

所以你需要取 sqrt（N）的对数（！），使其与 log ₂（N）的复杂度相同）

例如，对于11位二进制数，0b10000000000（= 2 ¹⁰），平方根为0b100000，但对数仅为10.

Answer 2

假设lim {n->inf} log n / sqrt(n) = (inf / inf)（否则只乘以常数），我们有

= lim {n->inf} 1/n / 1/(2*sqrt(n)) (by L'Hospital) = lim {n->inf} 2*sqrt(n)/n = lim {n->inf} 2/sqrt(n) = 0 < inf

O(.)

请参阅https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation了解log n = O(sqrt(n))的替代定义，从而从上面我们可以说log n，

同时比较以下函数的增长情况，sqrt(n)总是在n的上限为<!doctype html> <html lang="en"> <head> <meta charset="utf-8"> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1"> <title>jQuery UI Sortable - Default functionality</title> <link rel="stylesheet" href="//code.jquery.com/ui/1.12.1/themes/base/jquery-ui.css"> <link rel="stylesheet" href="/resources/demos/style.css"> <style> #sortable { list-style-type: none; margin: 0; padding: 0; width: 60%; } #sortable li { margin: 0 3px 3px 3px; padding: 0.4em; padding-left: 1.5em; font-size: 1.4em; height: 18px; } #sortable li span { position: absolute; margin-left: -1.3em; } </style> <script src="https://code.jquery.com/jquery-1.12.4.js"></script> <script src="https://code.jquery.com/ui/1.12.1/jquery-ui.js"></script> <script> $( function() { $( "#sortable" ).sortable(); $( "#sortable" ).disableSelection(); }); function sortItems() { var items = $('#sortable li').get(); items.sort(function(a,b){ var keyA = $(a).text(); var keyB = $(b).text(); if (keyA < keyB) return -1; if (keyA > keyB) return 1; return 0; }); var ul = $('#sortable'); $.each(items, function(i, li){ ul.append(li); }); }; function checkOrd() { var items = $('#sortable li').map(function(){ return $.trim($(this).text()); }).get(); var itsort = $('#sortable li').map(function(){ return $.trim($(this).text()); }).get(); itsort.sort(); if (JSON.stringify(items) == JSON.stringify(itsort)) alert("Right order!"); else alert("Wrong order!"); }; </script> </head> <body> <ul id="sortable"> <li class="ui-state-default"><span class="ui-icon ui-icon-arrowthick-2-n-s"></span>Item 1</li> <li class="ui-state-default"><span class="ui-icon ui-icon-arrowthick-2-n-s"></span>Item 2</li> <li class="ui-state-default"><span class="ui-icon ui-icon-arrowthick-2-n-s"></span>Item 3</li> <li class="ui-state-default"><span class="ui-icon ui-icon-arrowthick-2-n-s"></span>Item 4</li> <li class="ui-state-default"><span class="ui-icon ui-icon-arrowthick-2-n-s"></span>Item 5</li> <li class="ui-state-default"><span class="ui-icon ui-icon-arrowthick-2-n-s"></span>Item 6</li> <li class="ui-state-default"><span class="ui-icon ui-icon-arrowthick-2-n-s"></span>Item 7</li> </ul> <button onclick="sortItems();">Sort lists</button> <button onclick="checkOrd();">Check order</button> </body> </html>。

Answer 3

不，它不相同。

@trincot在他的回答中给出了一个很好的解释。我再加一点了。你的教授教你这个

any operation that halves the length of the input has an O(log(n)) complexity

也是如此，

any operation that reduces the length of the input by 2/3rd, has a O(log3(n)) complexity
any operation that reduces the length of the input by 3/4th, has a O(log4(n)) complexity
any operation that reduces the length of the input by 4/5th, has a O(log5(n)) complexity
So on ...

所有输入长度减少(B-1)/Bth.的情况确实如此。它的复杂度为O(logB(n))

N:B: O(logB(n))表示基于B的对数n

Answer 4

不，他们不等同;你甚至可以证明

   O(n**k) > O(log(n, base))

适用于k > 0和base > 1 k = 1/2的{{1}}。

在sqrt谈话时，我们要调查 large O(f(n))的行为，限制是很好的手段。假设两个大n都是等价的：

这意味着有一些有限常数O(n**k) = O(log(n, base))，这样

从一些足够大的O(n**k) <= C * O(log(n, base))开始;换句话说（n不是log(n, base)从大0开始，两个函数都是连续可微的）：

要找出极限值，我们可以使用L'Hospital's Rule，即将分子和分母的衍生物分开并除以它们：

  lim(n**k/log(n, base)) = C 
  n->+inf

所以我们可以得出结论，lim(n**k/log(n)) = lim([k*n**(k-1)]/[ln(base)/n]) = ln(base) * k * lim(n**k) = +infinity或其他词语

没有C。

O(n**k) < C*log(n, base)

Answer 5

不，不是。在处理时间复杂性时，我们认为输入量很大。因此，让我们取n = 2 ^ 18。现在，对于sqrt（n），操作数将为2 ^ 9，对于log（n），其操作数将等于18（此处考虑以2为底的log）。显然2 ^ 9比18大得多。因此，可以说O（log n）小于O（sqrt n）。

Answer 6

解决该问题的一种方法是比较O（sqrt(n)）的增长率
和O（log(n)）

sqrt（n）的导数为1/2（n ^ -1/2）----（1）
log（n）的导数为1 / n ----（2）

随着n的增加，我们看到（2）小于（1）。因此，随着n的增加，log（n）会更好。

Answer 7

只需比较两个功能：

sqrt(n) ---------- log(n)
n^(1/2) ---------- log(n)

Plug in Log
log( n^(1/2) ) --- log( log(n) )
(1/2) log(n) ----- log( log(n) )

很明显： const。 log（n）> log（log（n））

Answer 8

要证明sqrt(n)的增长速度快于l gn(base2)，您可以将第2个限制取为1个，并证明当n接近无穷大时它接近0。

lim(n—>inf) of (lgn/sqrt(n))

应用L'Hopitals规则：

= lim(n—>inf) of (2/(sqrt(n)*ln2))

由于sqrt(n)和ln2将随着n的增加而无限增加，并且2是一个常数，因此证明了

lim(n—>inf) of (2/(sqrt(n)*ln2)) = 0

复杂度O（log（n））是否等于O（sqrt（n））？

8 个答案: