如何在没有溢出的情况下计算O（n）中前k个二项式系数的和？

Question

我试图在O(N)中计算这一点而不会溢出（使用C ++）

为了澄清，n，r是事先给出的，我试图找到(n,r)

中O(N)对的一个实例的答案

这是我的试用版：

1. 使用O(N)计算ans = n!/(r!(n-r)!2^n)
2. 允许c = ans，使用O(N)为c修改c /= (n-p); c*=(p+1)：p = r-1 to 0。为每个步骤{/ 1}}添加c

基本上我使用ans来计算最后一个词，然后使用类似滑动窗口的内容来查找第二个词，然后是下一个词......直到第一个词。在这个过程中总结它们。

虽然它似乎是正确的，但实际运行时间仍然比我预期的要慢。所以我想知道这个公式有哪些特殊的技巧可以提高性能？如果没有那么有没有办法减少常数因素呢？ （基于以下代码段）

另一个大问题是我面临两难选择：我无法单独为O(N)计算2^(-n)或nCr，否则会出现下溢/溢出。这就是为什么我试图计算n和希望效果会相互抵消，这样我就不会在整个过程中获得下溢/溢出。是否有任何方法100％确保我不会出现下溢/溢出？

（如果可能，我想避免使用大整数库）

2^(-n) * The last term in the summation

Answer 1

计算并存储从0到n的每个m的log（m！）。

计算log（1/2 ** n）。

现在和的第p项是exp（log（n！） - log（p！） - log（（n-p）！）+ log（1/2 ** n））。一起添加这些术语。

Answer 2

为什么不在第一个循环中开始求和？如果第一个循环将正确计算二项式系数，您可以将它们相加并计算分母。目前您只计算ans=2^(-n)，因为其他操作相互抵消。

写出的金额是

1/2^n*(1+n+n*(n-1)/2+n*(n-1)*(n-2)/(2*3)+...)

两个二项式之间的商是

nC[k+1]/nC[k] = (n-k) / (k+1)

另请注意，上部索引r和n-r-1的部分和由二项式定理得到1。