Question

这是CLRS的2-1.b问题。我不明白如何在n * lg（n / k）中合并大小为k的n / k数组。我能想到的最好的解决方案是通过在每个子列表的min元素中搜索min元素来填充大小为n的最终数组的每个条目。这导致O（nk）。在指定时间内执行此操作的算法是什么？

Answer 1

我刚刚提出这个问题，我认为答案如下：子列表仍然一次合并两个。 1）考虑合并每个“级别”需要多长时间。 2）考虑有多少合并操作（你开始的第一个列表下面的'级别'的数量）。

合并每个级别多长时间？每个子列表都有k个元素，因此有（n / k）个子列表。因此，元素总数为k *（n / k）= n，因此每个级别的合并操作为theta（n）。

有多少合并操作（级别）？

If there is 1 sorted sublist: 0
If there are 2 sorted sublists: 1
If there are 4 sorted sublists: 2
If there are 8 sorted sublists: 3
If there are 16 sorted sublists: 4

1 = 2^0
2 = 2^1
4 = 2^2
8 = 2^3
16 = 2^4

因此，我们可以制定一般规则，格式与上面列出的具体规则相同：

If there are 2^p sorted sublists: p

当我们需要问"2 to the power 'what?' = m"时，我们需要一个对数。

所以，如果我们问"2 to the power 'what?' = 16?" 答案是log to base 2 of 16 = lg 16 = 4

因此，询问有多少级别的合并操作与询问“2权力”是什么一样？ = m“。我们现在知道答案是log to base 2 of n = lg m。

因此，我们现在知道合并操作有lg m个级别，每个级别的合并操作需要n次。因此总时间为n * lg m = n lg m

请记住，m是我们要合并的数字元素，在这种情况下，是算法的插入排序部分返回的已排序子列表的数量。这是n/k。因此，总时间为n log (n/k)。

Answer 2

`我们总共有n个元素，即大小为k的n / k个列表（假设有链表）。令m = n / k。

1。取一个大小为m的数组。用这些n / k列表的第一个元素初始化这些插槽。在该数组上进行堆排序（时间= k log k）。

2。然后提取第一个元素，将其添加到最终列表中。

3。将相应列表中的第一个元素替换为其下一个元素。如果下一个元素为null，请减小堆大小并将其替换为堆中的最后一个元素。（时间= O（1））。

4。执行最大堆操作（时间= O（log k））。重复整个2-3-4的过程，直到用尽所有列表。

因此，时间= 1.heap-sort + 2.max-element 3.Replacement + 4.max-heapify。 = O（k log k）+ O（1）+ O（1）+ n * O（log k） <= O（n log k）。

CLRS算法：合并每个大小为k的n / k子列表（n * lg（n / k））

2 个答案: