Question

如何找到模数为M的均匀间隔二项式系数之和？即。（ⁿ C _a + ⁿ C _{a + r} + ⁿ C _{a + 2r} + ⁿ C _{a + 3r} + ... + ⁿ C _{a + kr}）％M =？
给定：0 <= a＆lt; r，a + kr＆lt; = n＆lt; a +（k + 1）r，n < 10 ⁵，r＆lt; 100个

我的第一次尝试是：

int res = 0;
int mod=1000000009;
for (int k = 0; a + r*k <= n; k++) {
    res = (res + mod_nCr(n, a+r*k, mod)) % mod;
}

但效率不高。所以看完here后而paper我发现上述金额相当于：
求和[ω^-ja *（1 +ω^j）ⁿ / r]，0 <= j <1。 R等并且ω= e ^{i2π/ r}是原始r ^th的统一根。
在订单（r）中找到这笔金额的代码是什么？

编辑： n可以达到10 ⁵，r可以达到100。

Answer 1

二项式系数是多项式（1 + x）^ n的系数。 x ^ a，x ^（a + r）等的系数之和是多项式mod x ^ r-1的环中的（1 + x）^ n中的x ^ a的系数。多项式mod x ^ r-1可以由长度为r的系数阵列指定。您可以通过repeated squaring计算（1 + x）^ n mod（x ^ r-1，M），在每一步减少mod x ^ r-1和mod M.这需要大约log_2（n）r ^ 2步和O（r）空间与天真的乘法。如果使用快速傅里叶变换对多项式进行乘法或取幂，则速度会更快。

例如，假设n = 20且r = 5。

(1+x)    = {1,1,0,0,0}
(1+x)^2  = {1,2,1,0,0}
(1+x)^4  = {1,4,6,4,1}
(1+x)^8  = {1,8,28,56,70,56,28,8,1} 
           {1+56,8+28,28+8,56+1,70}
           {57,36,36,57,70}
(1+x)^16 = {3249,4104,5400,9090,13380,9144,8289,7980,4900}
           {3249+9144,4104+8289,5400+7980,9090+4900,13380}
           {12393,12393,13380,13990,13380}

(1+x)^20 = (1+x)^16 (1+x)^4
         = {12393,12393,13380,13990,13380}*{1,4,6,4,1}
           {12393,61965,137310,191440,211585,203373,149620,67510,13380}
           {215766,211585,204820,204820,211585}

这告诉你a的5个可能值的总和。例如，对于a = 1，211585 = 20c1 + 20c6 + 20c11 + 20c16 = 20 + 38760 + 167960 + 4845。

Answer 2

类似的东西，但你必须检查a，n和r，因为我只是在没有关于条件的情况下放了任何东西：

#include <complex>
#include <cmath>
#include <iostream>

using namespace std;

int main( void )
{
    const int r = 10;
    const int a = 2;
    const int n = 4;

    complex<double> i(0.,1.), res(0., 0.), w;

    for( int j(0); j<r; ++j )
    {
        w = exp( i * 2. * M_PI / (double)r );

        res += pow( w, -j * a ) * pow( 1. + pow( w, j ), n ) / (double)r;
    }

    return 0;

}

Answer 3

mod操作很昂贵，尽量避免使用

uint64_t res = 0;
int mod=1000000009;
for (int k = 0; a + r*k <= n; k++) {
    res += mod_nCr(n, a+r*k, mod);
    if(res > mod)
        res %= mod;
}

我没有测试此代码

Answer 4

我不知道您在这个问题上是否达到目标，但是实现此公式的关键是实际找出w ^ i是独立的，因此可以形成一个环。简单来说，您应该考虑实施（1 + x）^ n％（x ^ r-1）或在环Z [x] /（x ^ r-1）中找出（1 + x）^ n 如果感到困惑，我现在将为您提供一个简单的实现。

制作一个大小为r的向量。 O（r）空间+ O（r）时间
在每个O（r）空间+ O（r）时间初始化为零的矢量
将该向量的前两个元素设为1 O（1）
使用快速求幂方法计算（x + 1）^ n。每个乘法取O（r ^ 2），因此有log n个乘法，因此O（r ^ 2 log（n））
返回向量的第一个元素O（1）复杂 O（r ^ 2 log（n））时间和O（r）空间。可以使用傅立叶变换将该r ^ 2简化为r log（r）。乘法是如何完成的，这是幂中具有mod的规则多项式乘法

向量p1（r，0）; 向量p2（r，0）; p1 [0] = p1 [1] = 1; p2 [0] = p2 [1] = 1; 现在我们要做乘法向量res（r，0）; for（int i = 0; i

如何计算均匀间隔二项式系数的和

4 个答案: