Question

我必须计算表达式的c二项式系数（x + y）** n，n非常大（500-1000的数量级）。我想到的计算二项式系数的第一个算法是multiplicative formula。所以我将它编码为我的程序

long double binomial(int k, int m)
{
    int i,j;
    long double num=1, den=1;
    j=m<(k-m)?m:(k-m);
    for(i=1;i<=j;i++)
    {
        num*=(k+1-i);
        den*=i;
    }
    return num/den; 
}

这个代码在单个核心线程上非常快，例如与recursive formula进行比较，尽管后者不太容易出现舍入错误，因为只涉及求和而不是除法。因此，我想测试这些算法以获得很好的价值并尝试评估500选择250（订购10 ^ 160）。我发现＆＃34;相对错误＆＃34;小于10 ^（ - 19），所以基本上它们是相同的数字，虽然它们有10 ^ 141的不同。

所以我想知道：有没有办法评估计算错误的顺序？是否有一些快速的方法来计算二项式系数，这比乘法公式更精确？由于我不知道算法的准确性，因此我不知道在哪里截断斯特林系列以获得更好的结果。

我已经搜索了一些二项式系数表，所以我可以从这些表中复制，但我发现的最好的一个在n = 100时停止......

Answer 1

要获得小k和m的精确整数结果，可能会有更好的解决方案（代码略有不同）：

  unsigned long binomial(int k, int m)
  {
   int i,j; unsigned long num=1;
   j=m<(k-m)?m:(k-m);
   for(i=1;i<=j;i++)
   {
    num*=(k+1-i);
    num/=i;
   }
   return num;
  }

每次在进行除法num/=i后获得组合数字时，您都不会被截断。要获得较大k和m的近似结果，您的解决方案可能会很好。但要注意long double乘法已经比整数的乘法和除法慢得多（unsigned long或size_t）。如果你想要更精确地获得更大的数字，可能必须对一个大整数class进行编码或包含在库中。如果有n!极大整数n的快速因子算法，您也可以谷歌搜索。这对组合学也有帮助。当ln(n!)很大时，斯特林公式是n的良好近似值。这一切都取决于你想要的准确程度。

Answer 2

如果你真的想使用乘法公式，我建议采用基于异常的方法。

使用大整数（例如long long）实现公式
尽快尝试分部行动（卓卓建议）
添加代码以检查每个除法和乘法的正确性
解决不正确的分割或乘法，例如
- 尝试卓然提出的循环划分，但如果失败则采用初始算法（积累除数的乘积）
- 将未解析的乘数，除数存储在其他长整数中，并尝试在下一个迭代循环中解决它们
如果你真的使用大数字，那么你的结果可能不适合长整数。那么在这种情况下你可以切换到long double或使用你的个人LongInteger存储。

这是一个骨架代码，可以给你一个想法：

long long binomial_l(int k, int m)
{
    int i,j;
    long long num=1, den=1;
    j=m<(k-m)?m:(k-m);
    for(i=1;i<=j;i++)
    {
        int multiplier=(k+1-i);
        int divisor=i;
        long long candidate_num=num*multiplier;
        //check multiplication
        if((candidate_num/multiplier)!=num)
        {
            //resolve exception...
        }
        else
        {
            num=candidate_num;
        }

        candidate_num=num/divisor;
        //check division
        if((candidate_num*divisor)==num)
        {
            num=candidate_num;
        }
        else
        {
            //resolve exception
            den*=divisor;
            //this multiplication should also be checked...
        }
    }
    long long candidate_result= num/den; 
    if((candidate_result*den)==num)
    {
        return candidate_result;
    }
    // you should not get here if all exceptions are resolved
    return 0;
}

Answer 3

如果您只计算单个二项式系数C（n，k）n相当大但不大于约1750，那么使用一个像样的C库最好的方法是使用{{3}标准库函数：

tgammal(n+1) / (tgammal(n-k+1) * tgammal(k+1))

使用libm的Gnu实现进行测试，该结果始终在精确值的几个ULP内产生结果，并且通常优于基于乘法和除法的解决方案。

如果k足够小（或大），二项式系数不会溢出64位精度，那么你可以通过交替乘法和除法得到精确的结果。

如果n如此之大以至于tgammal(n+1)超出了长双倍（超过1754）的范围，但又没有那么大以至于分子溢出，那么乘法解是最好的一个bignum图书馆。但是，您也可以使用

expl(lgammal(n+1) - lgammal(n-k+1) - lgammal(k+1))

不太精确但更容易编码。（此外，如果系数的对数对您有用，则上述公式将适用于相当大的n和k范围。不必使用expl将提高准确性。）

如果您需要一系列具有相同n值的二项式系数，那么您最好的选择是迭代加法：

void binoms(unsigned n, long double* res) {
  // res must have (n+3)/2 elements
  res[0] = 1;
  for (unsigned i = 2, half = 0; i <= n; ++i) {
    res[half + 1] = res[half] * 2;
    for (int k = half; k > 0; --k)
      res[k] += res[k-1];
    if (i % 2 == 0)
      ++half;
  }
}

以上仅产生k从0到n / 2的系数。它具有比乘法算法略大的舍入误差（至少当k接近n / 2时），但如果你需要所有系数并且它具有更大范围的可接受输入，它会快得多。

Answer 4

这可能不是OP正在寻找的，但是可以通过二元熵函数分析近似nCr的大n。它在

中提到

二项式系数舍入误差

4 个答案: