我想使用big-O的形式定义来证明n ^ 1000000 = O（1.000001 ^ n）。我想知道我是否可以通过归纳证明或矛盾证明来做到这一点。我也想在不使用限制的情况下这样做。
答案 0 :(得分：1)
big-O的形式定义是：当且仅当存在一个正实数B和一个非负实数b使得
时，f（n）才是O（g（n））。| f（n）| <= B | g（n）|对于所有实数n> b
因此，我们要以这种方式编写n ^ 1000000和1.000001 ^ n之间的关系：
n ^ 1000000 <= B *（1.000001 ^ n）表示所有n> b
符号：这里我们使用log（n）作为n的自然对数，所以n = e ^ log（n）
n ^ 1000000 =（e ^ log（n））^ 1000000 = e ^（1000000 * log（n））
1.000001 ^ n =（e ^ log（1.000001））^ n = e ^（log（1.000001）* n）
我们知道n的增长比log（n）快，因此即使n足够大，即使1000000> log（1.000001），log（1.000001）* n> 1000000 * log（n）。 这与在n大于某个数字b（极大）时说n ^ 1000000 <1.000001 ^ n相同。
因此我们可以编写
n ^ 1000000 <= B *（1.000001 ^ n）对于所有n> b
其中B = 1并且b =可以通过求解1.000001 ^ b = b ^ 1000000和log（1.000001）* b> 1000000 * log（b）来计算的大数。
最后，我们得出的结论是n ^ 1000000 = O（1.000001 ^ n）。
答案 1 :(得分：0)
您无法证明这一点，因为n^1000000是一个函数而O(1.000001^n)是一个集合，因此它们不能相等。
Quod erat demonstrandum