如何证明这一点：
x^7 = O(x^10)
x^10 = O(x^7)?
我无法证明这一说法。
答案 0 :(得分：2)
让我们来看看big-O表示法的定义。
f ∈ O(g) <=> (∃ x) (∃ c > 0) (∀ y > x) (|f(y)| <= c⋅|g(y)|)
右侧可以表示“商f/g的范围足够大x”。
所以要证明f ∈ O(g)，看看商，选择一个（较大的）x并尝试找到一个界限。
对于第一种情况，商是
x⁷ / x¹⁰ = 1/x³
x ≥ 1的界限很明显。
要反驳f ∈ O(g)，请查看商并证明它假定每个区间[x, ∞)上的任意大模数值。假设任意c > 0，并证明对于任何x，y > x都有|f(y)/g(y)| > c。
这应该给予足够的暗示。
如果不是：
x³ > cx ≥ c+1。