作为家庭作业，我已经获得了以下几项任务：
设f（n）和g（n）是渐近正函数。证明或反驳以下每个猜想。
a. f(n) = O(g(n)) implies g(n) = O(f(n))
现在，我真正的问题是 - 您将如何以正式的方式证明这一点？我知道上面的内容很简单，因为我可以很容易地提供一个反例来反驳它，但是为了论证，让我们说我们想要在没有反例的情况下这样做，当然这继续其他一些例子，其中这不起作用。
我有点卡住了，我写了下面的不等式（＆lt; =小于或等于）
f(n) <= c1 * g(n)
g(n) <= c2 * f(n)
但我不确定如何将这两个不等式组合成单个（in）方程并反驳它。我最确定这是一件非常容易的事情，我只是忽略了，而且我现在很愚蠢 - 但是如何做到这一点的任何指针/具体例子都会很棒，所以我应该能够工作其余的这些问题都是我自己的。
答案 0 :(得分：4)
为什么要在不使用反例的情况下反驳它？这是反驳声明的最直接方式。
如果你必须证明它，当然你将无法使用反例。在这种情况下，对立可以很好地工作 - 假设声明是错误的，然后显示它是如何导致逻辑不一致的。
在这种情况下，您从f(n) <= c1 * g(n)开始为真，因为这是f(n) = O(g(n))的含义。现在你想假设所有g(n) <= c2 * f(n)和f都g为真（这最后一部分非常重要，因为你当然可以选择f和g这是真的），并说明为什么这不起作用。我的提示：选择一个f和一个g使其无法正常工作，并通过您选择c1和c2来表明它无法正常工作。
答案 1 :(得分：3)
一些提示：
不要忘记f(n) = O(g(n))是set notation，您可以将其转换为数学形式的不等式。
您可以使用 O 注释执行简单操作：
f(n) = O(f(n)) c * O(f(n)) = O(f(n))，如果c是常数O(f(n)) + O(f(n)) = O(f(n)) O(O(f(n))) = O(f(n)) O(f(n)) * O(g(n)) = O(f(n)g(n)) O(f(n)g(n)) = f(n) * O(g(n)) （计算机程序设计的艺术，第1卷 - O -Notation）