Question

这是标准的动态编程问题LIS PROBLEM

我想要2D坐标中点的最长增加子序列

即，数组中索引i处的2个点A（x1，y1），数组中索引j处的B（x2，y2）可以是增加序列的一部分，如果（x1＆lt; = x2）＆amp;＆amp; （y1＆lt; = y2）＆amp;＆amp; ！（x1 == x2＆amp;＆amp; y1 == y2）＆amp;＆amp; （J＆GT;ⅰ）

我的代码如下，使用标准DP为O（N ^ 2）： -

#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>


using namespace std;


struct Pair
{
    int x;
    int y;
};



int main()
{

    int n;
    cin>>n;

    vector<Pair> arr;
    int L[1000000];

    Pair a;

    int i;int Maxchain=0;
    for(i=0;i<n;i++)
    {

        cin>>a.x>>a.y;
        arr.push_back(a);

        L[i]=0;
        for (int j = i-1; j >=0; j--)
        {

            if ((L[j]>(Maxchain-1))&&(L[j]>=L[i])&&(arr[j].x <= arr[i].x) && (arr[j].y <= arr[i].y) && !(arr[j].x == arr[i].x && arr[j].y == arr[i].y))
                L[i] = L[j]+1;


        }

                Maxchain = L[i]>Maxchain ?L[i]:Maxchain ;

    }
    cout<<Maxchain;

    return 0;
}

这是一个O（N ^ 2）解决方案可以进一步减少或任何算法在O（NlogN）或O（Nlog ^ 2N）中解决？

供参考，在这里找到了一些东西：

Longest Increasing Subsequence (LIS) with two numbers

第二个答案更适合我的情况，但我们如何实现呢？

需要更好的答案或算法。

Answer 1

我假设两个坐标都在[0..N-1]范围内（如果情况并非如此，我们可以＆＃34;压缩＆＃34;它们不会改变它们的排序关系）。

让我们仔细看看标准的动态编程解决方案。设f[i]为在i - 位置结束的最长增长子序列的长度。一种简单（但很慢）的计算方法是迭代所有先前的元素并选择最佳元素。我们想要找到的是max f[j]所有j p[j].x <= p[i].x p[j].y <= p[j].y和p[j] != p[i]。它看起来像矩形中的某种二维查询（我知道还有另一个条件(p[i].x - 1, p[i].y)，但我们可以通过查询两个矩形(p[i].x, p[i].y - 1)和O(log^2 N)来解决它）。

因此，我们需要一个支持两种操作的数据结构：添加具有特定值的点并在矩形中获取最大值。 x坐标的分段树通过y坐标为其范围内的所有点存储平衡二叉搜索树，可以在O(log N)每个查询中执行。每个查询范围都被分解为树中的大多数(p[i].x, p[i].y)个节点。如果它是插入查询，我们需要将值f[i]的当前点O(log N)插入到每个节点的二叉搜索树中。如果它是获得最大查询，我们需要获得每个树的某些前缀的最大值。无论哪种方式，我们对每个查询的O(log N)二叉搜索树执行(N * log^2 N)操作。因此，总时间复杂度为O(N log N)。空间复杂度为O(log N)，因为树中有j级别，每个级别最多只能出现一次。

此解决方案已满足您的要求，但代码看起来很难。我们可以略微简化它。我们可以做两次＆＃34;运行＆＃34;：在第一次运行期间，我们只存储进入分段树的每个节点的查询（到目前为止我们不存储任何额外的信息）。现在我们可以保留节点中出现的所有数字的向量和相同长度的二进制索引树，以跟踪每个前缀的最小值并有效地得到它（大图：我们使用的事实是我们都知道所有事先查询，所以我们可以使用排序向量和二进制索引树的组合而不是二进制搜索。时间和空间复杂度分析与上述相同。

简短回顾：我们使用的数据结构支持矩形中的最大查询，并有效地插入新点，以加快为{{1}中的固定i找到最佳O(N^2)在O(N log^2 N)中解决它的动态编程解决方案。

OIS（NlogN）或O（Nlog ^ 2N）中坐标值的LIS

1 个答案: