Question

我有一个无向加权图G =（V，E），其中V代表节点，E代表边。通过Dijkstra算法，我得到了一个最短路径树Ts =（s，V），它根源于源节点s并跨越图G中的所有节点V.然后我选择了一个子树Tm =（s，K），（其中K是最短路径树Ts =（s，V）的V）的子集，其将s连接到所有V个节点中的仅K个节点，即，子树Tm是最短路径树Ts的子集。

我的问题是现在我怎么能通过参数或引理/定理来证明这个最短路径树Ts的子树Tm也是最短的树？先感谢您。

Answer 1

嗯，我猜这个SPT（最短路径树）只是一个从源到另一个节点的边缘的树（如果不是这样的话，它可能包含周期）。

然后，如果您选择原始SPT的某个子树，则必须保留树的属性，然后我们会遇到一些情况：

Trivial Tree：只有一个节点，没有边
```
no problems in here, it's a SPT (empty)
```

Not-Trivial Tree：两个或更多节点，显然有边缘。

this is kind of tricky. 

if you suppose that this sub-tree is rooted on source, then its easy
to see that the sub-tree will be a set of shortest paths between
the source and the other nodes, making it be a SPT ROOTED ON SOURCE.

otherwise, it wont be a SPT, cause if its rooted on some other node
(instead of source), the path from the root to other node (different
from source) may not be minimum.

我猜您对源自源的子树感兴趣，但很容易看出子树只包含最短路径（因为它是一个子树的子树） SPT本身），然后它将是SPT。

Answer 2

由于问题不够明确，我认为您的问题如下 -

如果Ts =（s，V）是图G =（V，E，W）的最短路径树（以s为根），则证明T's =（s，K），Ts诱导的子树通过K（\ subset V），是由K诱导的G的子图G'=（K，E'，W）的最短路径树（以s为根）。

你可以通过矛盾证明。

证明（非正式）：让你在K中成为一个顶点。因为，u也在V中，路径p = s - >由Ts给出的是最短的。假设，T'不是G'的最短路径树。然后路径p = s - >由T给出的并不是G'中最短的。这意味着，存在另一个顶点v（在K中为\），使得 p不包含v ，并且v创建了一个类似s - ＆gt;的快捷方式。 v - ＆gt; ü。

由于路径p = s - ＆gt;由Ts给出的是G中最短的， p必须在s和u之间的某处包含v ，这会导致矛盾。

最短路径树的子树也是最短的树？

2 个答案: