在我的计算机科学课程中，我们的教授给了我们期末考试的问题，而且我遇到了麻烦：
玛丽莎和乔尔正在进行公路旅行，他们希望确保他们在每个城市停留（将街道视为图表的边缘，将城市视为顶点）。他们希望到达每个城市，他们将在他们的家乡城市Vertexville，NY开始。他们希望尽可能节省燃料，并且不喜欢两次看到相同的风景，因此他们要求在他们可能的公路旅行路线中穿越的公路/道路是一个称为最短路径树的概念（换句话说，在他们可能的路线中穿越的道路是非循环的。你正在帮助Marissa和Joel计划他们的旅行，他们正在测试你的计算机科学决赛，所以他们问你：
是否可以使用最小生成树和最短路径树，使MST和SP树完全不相交？
你为他们的公路旅行找到了一个MST。他们想知道对于每个图，是否总有一个MST是SP树？
-Roads / highways是双向的（图表是无向的）
- 所有边长均为正且不同
是否有证据表明这不仅仅是构建一个反例？
答案 0 :(得分：3)
是否可以拥有最小生成树和最短路径 树使得MST和SP树完全不相交？
没有。构造任何SP树。 SP根的最短边将始终位于SP树和MST中。证明：
让SP根为A，让AC为最短的相邻边。显然，AC是到C的最短路径，因此它将在SP树中。
只有一个MST。 [proof] 如果我们使用Kruskal的算法构建它，那么AC是第一个可以将A连接到其他任何东西的访问边缘。因此它也将在MST中。
他们想知道对于每个图表，总是存在一个MST 是SP树吗？
没有。例如，一个超过5个顶点的环与长度为1的边连接，所有其他顶点连接到长度为2的边。每个MST只包含长度为1的边（除了一个环边之外），而每个SP树将包含至少一个长度为2的边（快捷方式）。
请注意，这种结构对于不同权重（在问题中指定）的效果也同样适用于上述比例相对不显着的数量 - 权重1000,1001,1002，......和2000,2001,2002。 ..等等。
是否有证据证明这不仅仅是构建一个反例？
也许，但反例是证明否定的最好方法，因为它们不需要任何花哨的推理。