如果卡尔曼滤波器的输入变量是随机变量，则方程如何变化

Question

假设我们有一个线性动力系统，我们使用大多数在线教程使用的等式。例如：

x_k = Ax_{k-1} + Bu_{k – 1} + w_{k – 1}

z_k = Hx_k + v_k

所以我们得到的是：

x^k = Ax^{k-1} + Bu^{k – 1}
P_k = AP_{k-1}A^T + Q 

这里似乎我们假设输入变量u_k不是随机变量。如果u_k是随机变量怎么办？我们不需要估算u_k。会改为P_k = AP_{k-1}A^T + BU_{k-1}B^T + Q吗？如果是这样，其他测量更新方程和卡尔曼平滑方程怎么样？

Answer 1

就最简单的情况而言，我们假设u_k是一个与w_k不相关的随机高斯变量。然后是更多的过程噪声，它在过程噪声协方差Q中表示。在这种情况下 Q = E[w_k w_k'] + E[u_k u_k']，其中E[ ]是期​​望运算符，撇号表示转置。