找到最大顶点不相交的路径覆盖

Question

假设我有一个在每个节点上都有权重的有向图。任意两个节点之间的路径权重定义如下：路径中所有节点的总和，并乘以该路径中的节点数。

我们希望找到一个顶点不相交的路径覆盖，它具有该覆盖中所有路径的最大权重总和。

我知道这是一个NP问题。有没有解决这个问题的算法？或者是否有任何问题可以解决这个问题？

Answer 1

有一个O（3 ^ n poly（n）） - 时间算法。步骤是

1. 查找可以在路径中排列的所有顶点集。
2. 解决最终的套装问题。

步骤1由​​动态程序完成，动态程序的表由（a）路径中的顶点集合（b）路径中的第一个顶点组成。第2步也是通过动态程序完成的，其中一个表将顶点集映射到该子图上不相交路径可达到的最大值。

步骤1的重复发生是

IsPath({v}, v) = true (for all vertices v)
IsPath(S, v) = exists w in S - {v} such that v->w is an arc and IsPath(S - {v}, w) (for all sets of vertices S, for all v in S).

现在收集所有集合P，使得在P中存在v，使得IsPath（P，v）。计算每条路径的分数。

BestCover({}) = 0
BestCover(S) = max Score(P) + BestCover(S - P) over all P subset of S such that P is a path (for all nonempty S).