在具有约束的图中查找顶点不相交路径的最大数量

Question

给定无向图G =（V，E），每条边与非负值相关联。

如何在图G上找到从s到t的顶点不相交路径的最大数量，并且约束路径长度之和不大于预定义值T.

Answer 1

您可以从将顶点不相交路径问题转换为边缘不相交路径问题开始。有关详细信息，请参阅this answer to other question。

现在，您可以在此图上求解Minimum-cost flow problem，以查找具有最小路径长度总和的任意数量的不相交路径。这样做，为每个边缘分配流量等于1，然后在s和t之间搜索最小成本流量，流量等于所需的路径数量。

要查找最大路径数，请在每个二进制搜索步骤中应用最小成本流程序，从一些初始路径数开始，可以通过以下过程之一确定：

1. 如果您希望最大路径数量较大，请解析此图表的Maximum flow problem。
2. 如果您希望最大路径数量较小，请使用单边二进制搜索（每个步骤也采用最低成本流程）。

Answer 2

由于您只对顶点不相交路径的数字感兴趣，因此您可以使用Menger's theorem（对于证明外观here），其说明如下：

设G是有限无向图，x和y是两个不相邻的顶点。然后该定理指出x和y的最小顶点切割的大小（其移除断开x和y的最小顶点数）等于从x到y的成对顶点无关路径的最大数量。

但是这不满足路径长度之和不大于预定值T的约束。

为此你必须使用Menger定理的一个版本来限定有限长度的路径 提交的内容为here：http://www.math.elte.hu/~lovasz/scans/mengerian.pdf