找到具有非常重要顶点的二分图顶点覆盖

Question

我知道我可以通过首先找到最大匹配然后使用Konig's Theorem将此匹配转换为相同顺序的顶点封面来找到二分图的最小顶点覆盖。

但是，获得的结果只是许多有效顶点覆盖中的一个。在下图中，{A，B}，{C，D}和{B，C}都是有效的封面。应用Konig方法会产生封面{A，B}。

(A)=====(C)
       /
     /
   /
(B)=====(D)

您如何检查是否存在包含给定重要顶点的最小顶点覆盖，例如顶点D？

我的第一个猜测是翻转图形并找到另一个最小顶点覆盖。在上面的例子中，这将产生{C，D}。如果两个解决方案都不包含重要的顶点，则它不是任何最小封面的一部分。但是，我没有想到要真正向自己证明这一点。

Answer 1

我建议采用以下方法

1. 找到最小顶点覆盖的大小（让顶点覆盖为$ C $）
2. 删除“非常重要的顶点”及其覆盖的所有边缘（顶点为$ v $）
3. 重复此过程，让新的顶点覆盖为$ C'$

如果$ | C'+ V | = | C | $然后报告最小顶点覆盖其他报告没有给定顶点存在最小顶点覆盖。

我猜你有相同的答案，证据也是一致的。

新的顶点覆盖不能小，因为它会违反$ C $是最小顶点覆盖之一的条件。

$ C'$也是覆盖图表其余部分的最小封面。

如果至少有一个包含顶点$ V $的最小顶点覆盖，则该集合中的其余顶点将覆盖除$ V $附近的顶点之外的所有顶点，但这意味着$ | C' | $不大于$ | C | -1 $因此，执行此操作意味着不存在包括VIP边缘的最小顶点覆盖。