二分图上的最小顶点覆盖

Question

假设你有一个二分图G =（V，U，E）

v1连接到u1，u2和u3

v2连接到u2和u3

v3连接到u3。

通过查看图表，我知道最小顶点覆盖是{v1，v2，u3}和{v1，u2，u3}，但我不知道如何使用二分匹配/顶点覆盖算法来找到这个。 Here 和Here

当我手动执行算法时，输出只是琐碎的最小顶点覆盖，全部是V.我做错了吗？

编辑：

图形的最大匹配是边（v1，u1），（v2，u2）和（v3，u3）。给定最大匹配，下一步是从不饱和顶点（不是匹配边的端点之一的顶点）开始

但在这种情况下，所有顶点都已饱和，所以我不知道如何继续。

Answer 1

Konig定理有两个方向。对应于弱线性编程对偶性的简单方向是顶点覆盖至少与匹配一样大。这是因为，在每个顶点覆盖中，每个匹配边缘至少存在一个端点。

对应于强LP对偶性的Konig定理的硬方向是存在顶点覆盖，其中存在至多（即，确切地）每个匹配边缘的一个端点。维基百科当前证明的主旨是使用匹配来贪婪地构造顶点覆盖，表明如果该算法被卡住，则所谓的最大匹配具有增强路径（矛盾）。每个边都入​​射到匹配的顶点，因此可以从封面中排除不匹配的顶点。反过来他们的邻居必须包括在内。他们的邻居的邻居可以被排除在外等等。

您已经注意到此过程有时无法确定每个顶点的状态。对于这种情况，维基百科的编辑写道：“如果没有这样的顶点，但是任何先前定义的集合Sk中都没有包含顶点，则任意选择其中一个，让S2j + 1由该单个顶点组成。”证明这一步骤的一种方法如下。让你成为所选择的顶点，并且v是你的伴侣，我们假装v的配偶不是你，而是一个新创造的顶点u'。那么你是无与伦比的，所以我们通过排除u并覆盖新创建的边缘来重新设置算法u' - v当我们随后包含v时。