一种检测凸壳极限点的线性程序

Question

我们如何制定一个线性程序，告诉我们是否有任意点x [j]∈X，其中X = {x1，...，xn}⊂Rn是X的凸包的极值点，是conv（X）？

根据这个线性程序的解决方案，我们应该能够声称“是的，x [j]是一个极端点”或“否”。

嗯，我脑子里想的是这样的：

{min: 0} s.t. x[ j ] = Σi ( a[ i ] * x[ i ] ); i ∈ {1, ... ,k}, ∀ j ∈ {1, ... ,k}

如果存在这样的[i]，那意味着x [j]是其他x的线性组合，这似乎违反了极值点的定义。

但是，我认为这个LP并不涵盖整个背景。即，如果我们选择位于conv（X）内部的x [j]（不在边缘上）并且不是其他的线性组合，该怎么办？然后该模型将导致错误的结果。在我看来，上面的模型会很好 iff 所选的x [j]位于conv（X）的边缘。

感谢。

Answer 1

你很亲密。当且仅当它可以被写为这些点的凸组合时，点属于convex hull of a finite set of points。此外，只有在没有其他两个点可以将其写为凸起的组合时，一个点才是一个极值点。

让兴趣点为x_k。然后，以下线性程序将完成这项工作：

其中x_ {ik}是要检查的点的i - 坐标（点k）。请注意，这一点应该是我们在等式右边所包含的点之一（即，问题总是至少有一个解决方案是lambda_k = 1而所有其他lambda都等于0.

如果这一点是一个极端点，那么你将得到的唯一解决方案是lambda_k = 1，其他lambdas = 0.否则，将弹出一个不同的解决方案（具有较小的lambda_k）。

（请注意，在您的问题描述中，点数和维度均为n），因此相应的索引（j和i）从1运行到n。< / p>

我希望这有帮助！