Question

我试图计算以下代码段的时间复杂度

sum = 0;
for(i = 0; i <= n; i++) {
  for(j = 1; j <= i; j++) {
    if(i % j == 0) {
      for(k = 0; k <= n; k++) {
        sum = sum + k;          
      }        
    }
  }
}

我认为，在第一次循环的N次迭代中，只有1个值为0，允许进入K循环，而i = 1 ...... N，K循环从不运行。

因此，只有1个值的I运行j次循环N次并且k循环N次，而对于其他值I我只有J循环运行N次

那么，TC = O（N ^ 2）？

Answer 1

这里让 d（n）是n的除数。

我看到你的程序为 O（d（n））每个i的除数数做 O（n）工作（最内层循环）（i从0循环）最外层循环中的n： O（n））。

其复杂性为 O（n * d（n）* n）。

Reference

对于大n， d（）~O（exp（log（n）/ log（log n）））。

因此总体复杂度为 O（n ^（2 + 1 / log（log n）））。

Answer 2

我得到了另一个答案。让我们用一个抽象的func（）代替内部循环：

for(i=0;i<=n;i++) {
  for(j=1;j<=i;j++) {
    if(i%j==0) {
      func();        
    }
  }
}

首先，忘记调用func（），计算所有（i％j）的复杂度M是O（n ^ 2）。

现在，我们可以问自己调用func（）的次数。它为我的每个除数调用一次。也就是说，每个i都称为d（i）次。这是Divisor summatory function D（n）。对于大n，D（n）~n log n。所以func（）被称为n log n次。同时，func（）本身具有O（n）的复杂性。因此它给出了复杂度P = O（n * n log n）。

总复杂度为M + P = O（n ^ 2）+ O（n ^ 2 log n）= O（n ^ 2 log n）

修改誓，感谢downvote！我想我需要使用python来证明它。此代码打印出n，为n调用内循环的次数，并输出后者与除数累加函数的比率

import math n = 100000 i = 0 z = 0 gg = 2 * 0.5772156649 - 1 while i < n: j = 1 while j <= i: if i % j == 0: #ignoring the most inner loop just calculate the number of times it is called z+=1 j+=1 if i > 0 and i % 1000 == 0: #Exact divisor summatory function, to make z/Di converge to 1.0 quicker Di = (i * math.log(i) + i * gg) #prints n Di z/Di print str(i) + ": " + str(z) + ": " + str(z/Di) i+=1

输出样本：

24000: 245792: 1.00010672544 25000: 257036: 1.00003672445 26000: 268353: 1.00009554815

所以最内层循环称为n * log n次，总复杂度为n ^ 2 * log n

代码段的时间复杂度

2 个答案: