Question

这是我正在讨论的代码段的伪代码，

temp = 1

repeat
  for i = 1 to n
    temp = temp+1;

  n = n/2;
until n<=1

我知道外循环（重复）执行 n 次。 for循环怎么样？是否可以将其作为n / 2的递归调用？我如何在这里申请硕士定理？

Answer 1

在外循环的第一次迭代中，内循环将执行n次。在下一次迭代中，内部循环将执行n/2次，依此类推......

因此，我们得到几何系列n + n/2 + n/4 + ...的总和，即2*n或O(n)。

Answer 2

首先，我假设您正在考虑添加temp作为具有您想要估算的成本的操作。我将n的初始值称为N，以区分当前值和初始值。此外，我假设n是不可变的，for循环的步骤是1。

由于n在每次迭代中减半，外部循环执行log N（基数2）次。在每次迭代中，内部for循环正在进行n次迭代：

N用于外循环的第一次迭代，N/2用于第二次迭代，N/(2*2)用于第三次，依此类推。一般来说，在外部循环的第i次迭代中，内部循环运行N/(2^i)次（假设i为零索引，否则在指数中使用i - 1）

在数学上，你有：

sum from 0 to log(N) - 1 of N/(2^i)

但是有一种不同的方法：

您会看到一个迭代算法，但它可以很容易地转换为递归算法（floor正在进行整数除法）：

(defun recursive-outer (n temp)
  (if (<= n 1)
      temp
      (recursive (floor n 2) (inner n temp))))

这很容易转化为主定理方程

T(n) = 1 * T(n/2) + f(n)

f(n) = inner(n)，O(n)。{/ 1>。{/ 1}

从这里应用主定理应该很容易。