如何计算两个点，每个点在一条线上，与给定点距离相等？

Question

我有一套五点：a，b，c，d，e。我想计算下面三角形的角Q，R。棘手的部分是Q-e和R-e之间的距离必须相等。

我使用直线 L（x）= kx + m 的公式，如this cute webpage所示。第一交叉点P计算如下。

double k_ab = (b.Y - a.Y) / (b.X - a.X);
double m_ab = a.Y - k_ab * a.X;
double k_cd = (d.Y - c.Y) / (d.X - c.X);
double m_cd = c.Y - k_cd * c.X;

double p = (m_cd - m_ab) / (k_ab - k_cd);
Point P = new Point(p, k_ab * p + m_ab);

然后，我卡住了。由于我不知道点Q的精确x坐标，我必须将它用作变量。即使在纸上，我也会因为移动部件和子计算过多而导致脑部发生故障。我感觉我已经选择了一种糟糕而低效的方法解决问题，所以如果有人建议如何重新解决问题以使解决方案更加明显，我会很高兴。

Answer 1

以下是如何找到Q和R的x值：

让f(x)成为包含a和b的行的等式。

让g(x)成为包含c和d的行的等式。

然后f(Q_x) - e_y == e_y - g(R_x)和Q_x - e_x == e_x - R_x

让z = Q_x - e_x

要计算z，请求解f(e_x + z) - e_y = e_y - g(e_x - z)，即

k_ab * (e.x + z - a.x) + a.y - e.y = e.y - c.y - k_cd * (e.x - z - c.x)

k_ab * (e.x + z - a.x) + k_cd * (e.x - z - c.x) = 2 * e.y - a.y - c.y

k_ab * (e.x - a.x) + k_cd * (e.x - c.x) + k_ab * z - k_cd * z = "

z * (k_ab - k_cd) = 2 * e.y - k_ab * (e.x - a.x) - k_cd * (e.x - c.x) - a.y - c.y

最后

z = (2 * e.y - k_ab * (e.x - a.x) - k_cd * (e.x - c.x) - a.y - c.y) / (k_ab - k_cd)

Q_x = e_x + z和R_x = e_x - z。我相信你可以从这里找出其余部分。

Try it here

Answer 2

我不知道以下是否属实，但是如果有三角测量的人确认了它，它可能会有所帮助。我只是想帮助我掌握基本的三角知识。

您知道P和e。绘制包含这两个点的直线，并与其垂直交叉。此垂线将在两个点A和B中穿过两条初始线。让我们使用距离(A,e)和(e,B)。

如果它们相等，则e位于QPR平分线中。 Q = A和R = B。

这就是我不知道的。如果(A,e)比x高(e,B)倍，则角度PQR也会比x高PRQ倍。在示例中，我将x设置为3.三角形为180º，如您所知QPR（这是问题的一部分），PQR将是(x / x+1) * (180º - QPR)并且PRQ = (1 / x+1) * (180º - QPR)。

了解这个角度，您知道跨越Q，e和R的线条的渐变。让它通过e，你会知道Q和R这条线穿过另外两条线。