计算与Matlab中三个特定点相等的点

Question

我有这个简单的数据集：

Class1 = [1 0; 0.5 1; 0.5 1.5];

如何在数据集的所有三个点上找到与欧氏距离相等的2d空间上的点？

以橙色突出显示的点应大致为计算点所在的位置。

Answer 1

如果你想找到与所有3个点（我从评论中的提示中得出的结论）相同的点，你基本上都在寻找包含所有三个点的圆心。请注意，存在1或0这样的圆，取决于您的三个点是否共线（即它们是否在一条线上对齐）。

您最简单的选择是查看圆的两个半径，并查看它们的交点。如果你想象一下你知道圆圈的那一刻，你可以很容易地看到你的任何两个点都定义了圆的截面，所以这些割线的垂直平分线将在圆的中心相交。如果点在一条线上对齐，则所有这些平分线将是平行的，即它们不会有交叉点（这是有道理的：一条线是一个半径无限的圆）。

因此，您需要查看点的垂直平分线方程，p1 = [x1,y1]，p2 = [x2,y2]和p3 = [x3,y3]。由前两个点定义的第一个垂直平分线穿过q1 = (p1+p2)/2，并垂直于n1 = p1-p2，因此其方向向量为v1 = [y1-y2,x2-x1]。现在你需要为另一对点做同样的事情：

q2 = (p1+p3)/2;
v2 = [y1-y3,x3-x1];

然后你的两个垂直平分线的点由

定义

q1 + t1*v1
q2 + t2*v2

分别带有t1，t2个真实参数。您需要做的是解决t1和t2，以便两条线在O = [ox,oy]中相交：

q1 + t1*v1 = q2 + t2*v2
t1*v1 - t2*v2 = q2 - q1

后者是一个二维矢量方程：两个参数t1和t2的两个非齐次线性方程。如果你以通常的方式解决它，解决方案[tsol1; tsol2]的任何一个组件都会给你原点的坐标：

O = q1 + tsol1*v1 == q2 + tsol2*v2

当两个平分线平行并且不通过相同的点（即，您的三个点沿着一条线对齐）时，线性方程将没有确切的解。当两个平分线重合时（即如果两个点重合），线性方程将是微不足道的并且具有无限多个解。

在非退化情况下，方程式应该有一个唯一的解决方案，您可以从中得出圆的中心。

Answer 2

如果您正在寻找距离三个点的距离相等的点，则可以创建相应的符号方程并求解它们。我们将这些点分为P2 = [0.5 1]，P3 = [0.5 1.5]和syms x y % [x, y] has equal distance from P1 and P2: eqn1 = (P1(1)-x).^2 + (P1(2)-y).^2 == (P2(1)-x).^2 + (P2(2)-y).^2; % [x, y] has equal distance from P1 and P3: eqn2 = (P1(1)-x).^2 + (P1(2)-y).^2 == (P3(1)-x).^2 + (P3(2)-y).^2; [a, b] = solve([eqn1, eqn2], [x, y]) % a = % % 9/4 % % % b = % % 5/4 。

- (void)imagePickerController:(UIImagePickerController *)picker didFinishPickingMediaWithInfo:(NSDictionary *)info{

通常，如果处理大量数据，使用符号变量和方程式并不是一个合理的选择。否则，便于以紧凑和简单的方式编写数学。