从点找圆圈中最远的点

Question

我正在尝试找到从2D空间中指定点获取圆圈最远点的最佳方法。到目前为止我发现的是如何获得点和圆位置之间的距离，但我不完全确定如何扩展它以找到圆的最远点。

已知变量是：

• 指向
• 点b（圆圈位置）
• 半径r（圆半径）

为了找到点和圆圈位置之间的距离，我发现了这个：

  

xd = x2 - x1

     

yd = y2 - y1

     

距离= SquareRoot（xd * xd + yd * yd）

在我看来，这是解决方案的一部分。如何扩展以获得点x在下图中的位置？

作为问题的一个附加但可选的部分：我已经在一些地方读过，可以在不使用平方根的情况下获得距离部分，这是非常高性能的，如果需要快速代码则应该避免。就我而言，我会经常做这个计算;在主要问题的范围内对此提出的任何意见也会受到欢迎。

Answer 1

这个怎么样？

1. 计算A-B。
   我们现在有一个向量从圆心指向A（如果B是原点，跳过这个，只考虑点A是一个向量）。
2. 正常化。 现在我们有一个定义良好的长度（长度为1）
3. 如果圆圈不单位半径，则乘以半径。如果是单位半径，请跳过此。 现在我们正确的长度。
4. 反转符号（可以与3.一步完成，只需与负半径相乘）
   现在我们的向量指向正确的方向。
5. 添加B（如果B是原点，请跳过此处） 现在我们的向量被正确偏移，因此它的端点就是我们想要的点。

（或者，你可以计算B-A来保存否定，但是你必须再做一次操作来正确地偏移原点。）

顺便说一句，它在3D中的工作方式相同，除了圆圈是一个球体，并且矢量将有3个组件（或4，如果你使用同质的coords，在这种情况下记住 - 为了正确性 - 设置当“将点转换为向量”时， w 为0，当从向量中指向点时， w 为1。

修改
（回复伪代码）
假设你有一个vec2类，它是两个浮点数的结构，带有向量减法和标量乘法的运算符（非常简单，大约有十几行代码）和一个函数normalize，它只需要一个简写为了与inv_sqrt(x*x+y*y)相乘，伪代码（我的伪代码类似于C ++ / GLSL混合）可能看起来像这样：

vec2 most_distant_on_circle(vec2 const& B, float r, vec2 const& A)
{
    vec2 P(A - B);
    normalize(P);
    return -r * P + B;
}

您使用的大多数数学库都应具有内置的所有这些函数和类型。 HLSL和GLSL将它们作为第一类型基元和内部函数。有些GPU甚至有专门的规范化指令。