如何在lambda演算中编码

Question

我正在Haskell学习lambda演算，在此期间，我遇到了这个问题。

这些问题的解决方案是：

但我无法理解他们如何得出答案。 就像eq一样，我不明白他们是如何做到这一点的：λab.a b (b (λxy.y) (λxy.x))  同样适用于nand。如果有人解释并帮助我理解这个问题，那将是非常好的。

谢谢。

Answer 1

让我们先用实际数据类型编写有问题的函数（但没有模式匹配：仅if / then / else）：

data Bool = False | True -- recall this definition
not  a   = if a then False else True
eq   a b = if a then (if b then True  else False)
                else (if b then False else True )
nand a b = if a then (if b then False else True )
                else (if b then True  else True )

如果您购买这些定义 - 这些定义非常简单，只需列出函数的真值表 - 那么我们就可以开始做一些推理了。首先，我们可以稍微简化eq和nand函数的外部分支：

eq   a b = if a then b else not b
nand a b = if a then not b else True

现在我们基本完成了。我们只需用False / True / if行为替换每个then和else，并替换每个if / then带有函数应用程序的/ else：

type Bool a = a -> a -> a
false a b = a -- `if False then a else b` becomes `false a b`
true  a b = b -- `if True  then a else b` becomes `true  a b`

not  a   = a false true   -- from `if a then False else True`
eq   a b = a b (not b)    -- from `if a then b else not b`
nand a b = a (not b) true -- from `if a then not b else True`

这些是您的解决方案中给出的定义，但不可否认的是Haskell语法而不是lambda演算语法。

Answer 2

我正在使用Haskell将λ写为posts。

从评论中看来，您在使用此部分时遇到了问题：

\

所以我只关注这个。

我们对布尔值的编码是带有两个参数的函数。 eq = \a b. a b (b (\x y. y) (\x y. x)) 返回第一个参数，True返回第二个参数。第一段直接给出了编码：

False

我们将使用名称而不是lambda表达式直到最后。

我们知道True = \x y. x False = \x y. y 应该采用两个论点，即两个布尔值进行比较。 （布尔值的编码本身有两个参数，但这是不同的 - eq应该采用两个参数，无论布尔值如何编码）所以我们知道它应该是这样的：

eq

在这一点上，我们唯一可以做的就是检查其中一个参数，以确定它是eq = \a b. _________________ 还是True。 False是对称的，所以我们要问哪一个并不重要;让我们毫无理由地选择eq。根据编码，我们要求的方法是将两个参数传递给我们想要找到的东西。

a

我们尚未弄清楚“洞”中的内容。第一个洞是eq = \a b. a ____ ____ 原来是a时将返回的内容，第二个洞是True后将返回的内容。

为了弄清楚如何填补这些漏洞，让我们为我们想要定义的内容编写真值表：

False

请注意，在a | b | eq a b ------+-------+--------- True | True | True True | False | False False | True | False False | False | True 为a的两行中，True列与a == b列完全相同。因此，当b为a时，我们只返回True。所以我们可以填补其中一个漏洞：

b

现在在表格中注意，当eq = \a b. a b ____ 为a时，False与a == b列相反，因此在这种情况下我们应该反转b并将其归还。

要反转b，我们希望b为False时为b，反之亦然。在编码中，即：

True

这就是b False True a时我们应该返回的内容，所以我们填写另一个洞：

False

现在我们只展开eq = \a b. a b (b False True) 和False

的定义

True

你有它。