这个问题NP难吗？

Question

我正在尝试为这个问题提出合理的算法：

假设你有一堆球。每个球至少有一种颜色，但也可以是多色的。每个球上都有一个数字。还有一堆盒子，每个盒子只有一种颜色。目标是最大化框中球的数字总和，唯一的规则是：

• 为了将球放在盒子里，它 必须至少有盒子的颜色 在它上面
• 你每个人只能放一个球 框。

例如，您可以将蓝色和绿色球放入蓝色框或绿色框中，但不能放入红色框中。

我已经提出了一些在运行时方面有很大帮助的优化。例如，您可以按点值的降序对球进行排序。然后，当你从最高数字到最低数字，如果球只有一种颜色，并且没有其他高点球包含那种颜色，你可以把它放在那个盒子里（从而从那个盒子中取出那个盒子和那个球）剩下的组合）。

我只是好奇是有这种类型的问题的某种动态算法，或者它只是伪装的旅行推销员问题。如果我知道最多有X种颜色会有用吗？任何帮助是极大的赞赏。谢谢！

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编辑 - 这是一个简单的例子：

球：

• 1个红球 - 5分
• 1个蓝球 - 3分
• 1个绿色/红色球 - 2分
• 1个绿色/蓝色球 - 4分
• 1个红色/蓝色球 - 1个点

箱：

• 1 red
• 1 blue
• 1 green

最佳解决方案：

• 红色框中的红球
• 蓝色方框中的蓝色球

• 绿色/蓝色球在绿色框中

  总

Answer 1

这是maximum weight matching problem on a weighted bipartite graph的一个特例。构造一个左顶点对应于球的图形，其右顶点对应于方框，边缘连接球和一个具有权重V的方框，其中V是球上的数字，如果球可以放在方框中，否则为0 。添加额外的框或球，使用权重为零的边连接到另一边，直到每边都有相同数量的顶点。您要查找的分配由结果图中最大（总）重量匹配的非零权重边集确定。

分配算法可以在O（n ^ 3）时间内求解，其中n是使用Hungarian algorithm的球或盒数的最大值。 （顺便说一句，我应该做出免责声明，我只提到匈牙利算法，因为这是我碰巧熟悉的理论结果，它可能会回答标题中的问题，即原始问题是否是NP难的。我不知道是否是在实践中使用的最佳算法。）

Answer 2

你试过一个贪婪的阿尔格吗？ 按点/值排序，如果可能，放在框中。 如果有任何异常，我会错过ID，就像看到它们一样。