为什么卷积结果在时域和频域中执行时有不同的长度？

Question

我不是DSP专家，但据我所知，有两种方法可以将离散时域滤波器应用于离散时域波形。第一种是在时域中对它们进行卷积，第二种是对两者进行FFT，将两个复数谱相乘，并对结果进行IFFT。这些方法的一个关键区别是第二种方法需要循环卷积。

例如，如果滤波器和波形都是N点长，则第一种方法（即卷积）产生的结果是N + N-1点长，其中该响应的前半部分是滤波器填满而下半部分是过滤器排空。要获得稳态响应，滤波器需要的点数少于要滤波的波形数。

使用第二种方法继续该示例，并假设离散时域波形数据全部是真实的（不复杂），滤波器的FFT和波形都产生N点长的FFT。将两个频谱相乘IFFT，结果产生时域结果也是N点长。这里过滤器填满和空的响应在时域中相互重叠，并且没有稳态响应。这是循环卷积的效果。为了避免这种情况，通常滤波器尺寸将小于波形尺寸，并且两者都将是零填充的，以允许频率卷积的空间在两个频谱的乘积的IFFT之后及时扩展。

我的问题是，我经常看到来自知名专家/公司的文献中的工作，他们有离散（实际）时域波形（N点），他们对它进行FFT，将其乘以某个滤波器（也是N）点）和IFFT后续处理的结果。我天真的想法是这个结果应该不包含稳态响应，因此应该包含过滤器填充/清空中的工件，这些工件会导致解释结果数据时出错，但我必须遗漏一些东西。在什么情况下这是一种有效的方法？

非常感谢任何见解

Answer 1

基本问题不是关于零填充与假定的周期性，而是傅立叶分析将信号分解为正弦波，在最基本的水平上，假设在范围内是无限的。 两种方法都是正确的，因为使用完整FFT的IFFT将返回精确的输入波形，并且两种方法都不正确，因为使用小于全谱会导致效果在边缘（通常延伸几个波长）。唯一的区别在于您假设填充其余无穷大的细节，而不是您是否做出假设。

回到你的第一段：通常，在DSP中，我遇到的最大问题是它们是非因果性的，因此我常常喜欢保持在时域中，例如使用FIR和IIR过滤器。

<强>更新

在问题陈述中，OP正确地指出了使用FFT过滤信号时可能出现的一些问题，例如边缘效应，这在进行长度相当的卷积时可能特别成问题（在时域）到采样波形。重要的是要注意，并非所有滤波都是使用FFT完成的，并且在OP引用的论文中，他们没有使用FFT滤波器，并且使用他们的方法不会出现FFT滤波器实现时出现的问题

例如，考虑使用两种不同的实现，实现简单平均超过128个采样点的过滤器。

FFT ：在FFT /卷积方法中，可以得到256个点的样本，并将其与前半部分为常量的wfm进行卷积，并在第二部分中为零。半。这里的问题是（即使在这个系统运行了几个周期之后），是什么决定了结果的第一个点的值？ FFT假定wfm是圆形的（即无限周期），因此：结果的第一个点由wfm的 last 127（即未来）样本确定（跳过中间的wfm），如果你使用零填充，则为127个零。两者都不正确。

FIR ：另一种方法是使用FIR滤波器实现平均值。例如，这里可以使用128寄存器FIFO队列中的平均值。也就是说，当每个样本点进入时，1）将其放入队列中，2）使最旧的项目出列，3）平均剩余的128个项目中的所有项目;这是此示例点的结果。这种方法连续运行，一次处理一个点，并在每个样本后返回滤波后的结果，并且没有因FFT应用于有限样本块而出现的问题。每个结果只是当前样本的平均值和之前的127个样本。

OP引用的论文采用的方法更类似于FIR滤波器而不是FFT滤波器（请注意，本文中的滤波器更复杂，整篇论文基本上是对此滤波器的分析。）参见例如，this free book描述了如何分析和应用不同的滤波器，并注意到拉普拉斯分析FIR和IIR滤波器的方法与引用文章中的内容非常相似。

Answer 2

这是DFT（循环卷积）与线性卷积无卷填充的卷积示例。这是长度为M = 32的序列的卷积，长度为L = 128序列（使用Numpy / Matplotlib）：

f = rand(32); g = rand(128)
h1 = convolve(f, g)
h2 = real(ifft(fft(f, 128)*fft(g)))
plot(h1); plot(h2,'r')
grid()

第一个M-1点不同，由于它不是零填充，因此它被M-1点缩短。如果您正在进行块卷积，则这些差异是一个问题，但是使用重叠和保存或重叠和添加等技术来克服此问题。否则，如果您只是计算一次性过滤操作，则有效结果将从索引M-1开始，以索引L-1结束，长度为L-M + 1.

至于所引用的论文，我在附录A中查看了他们的MATLAB代码。我认为他们在将Hfinal传递函数应用于负频率而没有先将其共轭时犯了一个错误。否则，您可以在图中看到时钟抖动是周期性信号，因此使用循环卷积可以进行稳态分析。

编辑：关于共轭传递函数，PLL具有实值脉冲响应，并且每个实值信号具有共轭对称谱。在代码中，您可以看到他们只是使用Hfinal [N-i]来获取负频率而不使用共轭。我已经将它们的传递函数绘制在-50 MHz到50 MHz之间：

N = 150000                    # number of samples. Need >50k to get a good spectrum. 
res = 100e6/N                 # resolution of single freq point  
f = res * arange(-N/2, N/2)   # set the frequency sweep [-50MHz,50MHz), N points
s = 2j*pi*f                   # set the xfer function to complex radians 

f1 = 22e6       # define 3dB corner frequency for H1 
zeta1 = 0.54    # define peaking for H1 
f2 = 7e6        # define 3dB corner frequency for H2 
zeta2 = 0.54    # define peaking for H2    
f3 = 1.0e6      # define 3dB corner frequency for H3 

# w1 = natural frequency   
w1 = 2*pi*f1/((1 + 2*zeta1**2 + ((1 + 2*zeta1**2)**2 + 1)**0.5)**0.5)  
# H1 transfer function 
H1 = ((2*zeta1*w1*s + w1**2)/(s**2 + 2*zeta1*w1*s + w1**2))            

# w2 = natural frequency 
w2 = 2*pi*f2/((1 + 2*zeta2**2 + ((1 + 2*zeta2**2)**2 + 1)**0.5)**0.5)  
# H2 transfer function  
H2 = ((2*zeta2*w2*s + w2**2)/(s**2 + 2*zeta2*w2*s + w2**2))            

w3 = 2*pi*f3        # w3 = 3dB point for a single pole high pass function. 
H3 = s/(s+w3)       # the H3 xfer function is a high pass

Ht = 2*(H1-H2)*H3   # Final transfer based on the difference functions

subplot(311); plot(f, abs(Ht)); ylabel("abs")
subplot(312); plot(f, real(Ht)); ylabel("real")
subplot(313); plot(f, imag(Ht)); ylabel("imag")

如您所见，实部具有均匀对称性，虚部具有奇对称性。在他们的代码中，他们只计算了loglog图的正频率（足够合理）。然而，为了计算逆变换，他们通过索引Hfinal [N-i]而使用负频率的正频率值，但忘记将其共轭。

Answer 3

虽然假设矩形数据窗口在FFT孔径宽度处是周期性的，但是如果没有足够的零填充，循环卷积所做的一种解释会产生伪影，这些差异可能会也可能不会大到足以淹没有问题的数据分析。

Answer 4

我可以了解在应用FFT之前应用“窗口”的原因。

正如已经指出的那样，FFT假定我们有一个无限的信号。当我们在有限时间T内采样时，这在数学上等效于将信号乘以矩形函数。

时域中的乘法变为频域中的卷积。矩形的频率响应是同步函数，即sin（x）/ x。分子中的x是踢球者，因为它在O（1 / N）下消失。

如果频率分量恰好是1 / T的倍数，则无关紧要，因为除了频率为1之外，所有点的同步功能都为零。

但是，如果你的正弦值介于2点之间，你会看到在频点上采样的同步功能。它类似于同步功能的放大版本和由卷积降低1 / N或6dB /倍频程引起的“重影”信号。如果你有一个高于噪声基底60db的信号，你将看不到主信号左右1000个频率的噪声，它将被同步功能的“边缘”淹没。

如果你使用不同的时间窗口，你得到一个不同的频率响应，例如余弦消失1 / x ^ 2，有专门的窗口用于不同的测量。 Hanning窗口通常用作通用窗口。

关键在于，当不应用任何“窗口函数”时使用的矩形窗口会产生比选择良好的窗口更糟糕的伪像。即通过“扭曲”时间样本，我们在频域中得到更好的图像，这更接近“现实”，或者更确切地说是我们期望和想要看到的“现实”。