使用递归树渐近求解T（n）= 2T（n ^（1/2））+ 1？

Question

我需要解决复发问题

  

T（n）= 2T（n ^1/2 ）+ 1

我需要找到渐近时间的复杂性。我正在使用递归树方法，但我遇到了困难。我知道答案是Θ（log n），但我不知道如何达到这个目的。你是如何解决这种复发的？

Answer 1

如果您看到重复T（n），其中一个术语取决于输入大小的平方根，那么定义新的重现通常很有用

  

S（k）= T（2 ^k ）

因为k中的重复发生通常比n中的相应重复更容易使用。在我们的例子中，我们有

  

S（k）= T（2 ^k ）

     

= 2T（√（2 ^k ））+ 1

     

= 2T（2 ^{k / 2} ）+ 1

     

= 2S（k / 2）+ 1

请注意，我们现在有一个与主定理所期望的形式相匹配的重复（并且通常比原始定义更容易使用）。我们可以通过许多不同的技术将这种重现解决为S（k）=Θ（k）。

既然我们知道S（k）=Θ（k），我们可以说T（n）？好吧，假设我们可以捏造不是2的精确幂的东西，我们可以说T（n）≈S（lg n），因为S（lg n）= T（2 ^{lg n < / sup>）= T（n）。因此，我们得到了}

  

T（n）= S（lg n）=Θ（lg n）

所以T（n）=Θ（lg n）。

这是达到这个结果的另一种方式，它不那么数学化，更直观。想象一下通过扩展原始递归T（n）形成的递归树的形状。在顶层，我们有一个大小为n的调用1个工作。在下一个级别，我们有两个大小为 ² √n的调用，共计2个工作。在下面的级别是四次调用大小 ⁴ √n，总共4个工作。更一般地说，在k级，我们有2个 ^k 调用，每个调用 ^{2 k} √n工作。当n变得足够小（例如，n = 2）时，递归终止，这发生在某个级别k。那时，完成的工作总数将是

  

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 2 ^k = 2（2 ^k ） - 1。

如果我们能解决k，我们就会知道完成了多少工作。请注意，当输入下降到2时，递归停止，这意味着我们想要的k是 ^{2 k} √n= 2的那个。求解k，我们看到该

  

^{2 k} √n= 2

     

n = 2 ^{2 k}

     

lg lg n = k

一般来说，如果你看到一个因平方根因子而缩小的东西，你应该期望the number of iterations before the term drops to a constant is O(log log n)。因此，完成的总工作量为2（2 ^{lg lg n} ）+ 1 = 2 lg n - 1 =Θ（lg n），如前所述。

Answer 2

让我们进行替换

然后

其中N是系列终止前的术语数。

但是N是什么？这取决于 amit 评论的答案。假设n中的T(n)允许非整数值，而T n < C的{​​{1}}终止（= 0），对于某个常量C > 1。

然后我们需要

因此，复杂性还取决于C：

编辑：数据支持我的回答：

• T针对log n，C = 1.5：
的图表

• T针对- log C，n = 2^64：
的图表

如您所见，两者都是线性的。

Answer 3

使用递归树方法，可以解决以下问题： follow this link