使用归纳法发现复杂性

Question

我被要求证明：

对于n＆gt; = n0和T(n) = T(an) + T(bn) + n，对于n＆gt; n0，a + b <1，其复杂度为T(n) = O(n)。

提示：通过归纳证明：T(n) ≤ cn为合适的c。

在这种情况下，我想知道如何通过归纳证明。

谢谢。

Answer 1

如果我们假设an和bn的不等式为真，那么

现在我们不知道这个常数和c之间的确切关系;但如果我们看一下

的情况

但是a + b可以任意接近1，这意味着c将是任意大的。由于常数必须是有限的，因此这有点击败了O符号。因此我们采取下限：

因此我们找到了假设可以为真的c范围。 1的下限是因为您的域n >= n0表示T(n0) = n0。这里常量为1，因此c必须至少为1才能满足假定的初始界限。这也限制了a和b的值为正。

但是为了使假设成立，a, b可以在[0, 1)中使用任何值，这意味着如果T(n)的边界正确，那么它是也适用于任何较大的参数，例如T(n + 1)。

所以我们知道：

1. n = n0
的假设是正确的
2. 如果n为真，则n + 1
也为真

因此，通过归纳，T(n) <= cn适用于任何n >= n0，其中c满足之前的界限。