Question

根据Homotopy Type Theory（第49页），这是平等的完全归纳原理：

Definition path_induction (A : Type) (C : forall x y : A, (x = y) -> Type)
           (c : forall x : A, C x x eq_refl) (x y : A) (prEq : x = y)
  : C x y prEq :=
  match prEq with
  | eq_refl => c x
  end.

我对HoTT不太了解，但是我确实看到路径感应比eq_rect强：

Lemma path_ind_stronger : forall (A : Type) (x y : A) (P : A -> Type)
                            (prX : P x) (prEq : x = y),
    eq_rect x P prX y prEq =
    path_induction A (fun x y pr => P x -> P y) (fun x pr => pr) x y prEq prX.
Proof.
  intros. destruct prEq. reflexivity.
Qed.

相反，我无法从path_induction构造eq_rect。可能吗？如果不是，那么平等的正确归纳原理是什么？我认为这些原理是机械地从Inductive类型定义中得出的。

编辑

由于下面的答案，关于等式的完整归纳原理可以通过以下方式产生

Scheme eq_rect_full := Induction for eq Sort Prop.

然后我们得出相反的结论，

Lemma eq_rect_full_works : forall (A : Type) (C : forall x y : A, (x = y) -> Prop)
                             (c : forall x : A, C x x eq_refl) (x y : A)
                             (prEq : x = y),
    path_induction A C c x y prEq
    = eq_rect_full A x (fun y => C x y) (c x) y prEq.
Proof.
  intros. destruct prEq. reflexivity.
Qed.

Answer 1

我认为您是指path_induction的结果类型提到了被销毁的路径，而eq_rect的结果类型却没有提及的事实。这是归纳命题的默认设置（与Type相对），因为额外的参数通常不用于与证明无关的开发。不过，您可以使用Scheme命令https://coq.inria.fr/distrib/current/refman/user-extensions/proof-schemes.html?highlight=minimality指示Coq生成更完整的归纳原理。（Minimality变体是默认情况下用于命题的变体。）

使用eq_rect的路径归纳

1 个答案: