Question

假设我有以下关系 -

T(1) = c1

T(n) = T(n/2) + n

我需要通过归纳证明这个函数受O(n)的限制。我只是不知道如何选择C,N_{0} > 0。如果有人能告诉我这些证明的大纲。

Answer 1

您不需要明确的常量来证明复杂性为O(n)。回到定义：如果T(n)渐近有界，则O(n)为T(n) / n。

现在建议尝试将其作为第一次探索，看看它是如何演变的：

T(n) / n = (T(n/2) + n) / n = T(n/2) / n + n / n
         = T(n/2) / n + 1

您当然可以再次将其应用于n/2，n/2/2等。为简化起见，我们假设n是2的幂：n = 2^p。然后我们可以写：

T(2^p) / 2^p = T(2^(p-1)) / 2^p + 1
             = T(2^(p-2)) / ((2^p)*(2^(p-1))) + 1 / 2^p + 1
             = T(2^(p-3)) / ((2^p)*(2^(p-1))*(2^(p-2))) + 1 / (2^(p-1)*2^p) + 1/(2^p) + 1
             = ...

你可以通过T(1)这种方式回到p，但是已经很明显这是有限的：因为左侧（T(2^(p-k))）变得更加闪烁到T(1)，添加到右侧侧的内容越来越小，呈指数级变化。特别是，我们知道：

1 + 1/2 + 1/(2*2) + 1/(2*2*2) + ...

Converges，所以我们的1 /（2 ^的乘积）的总和应该肯定表现。让我们直截了当地说明：

让我们看看我们是否可以找到一些C：

T(n) < n * C

n==1确实如此，只要C > c1。现在，让我们假设它n是真的，我们有：

T(n*2) = T(n) + 2*n < n*C + n*2 = n*(C+2) = n*2 * (C+2)/2

因此，只要(C + 2) / 2 <= C，我们的关系就会一直存在。只要C >= 2。

就很容易证明这是真的

因此，如果我们选择任何C > max(c1, 2)，我们会T(1) < C，T(n) < n*C隐含T(2*n) < 2*n*C，所以我们可以得出结论：

T(n) < n * C for all p  (*)

这意味着T(n) ~ O(n)，因为T(n) / n受C限制。

还有其他方法可以继续：扩展上述探索，您可以将T(2^p) / 2^p表达为k<=p上的系列，并表明它会收敛。但是，归纳证明通常是处理递归定义的最简单方法。

(*)：从技术上讲，我们只为所有n=2^p展示了所有p。但是，通过归纳证明也很简单：

T(2) = T(1) + 1 > T(1)
T(n+1) = T((n+1)/2) + (n+1)
       = T(n/2) + n + 1     if n is even
       = T(n) + 1 
T(n+1) > T(n)               if n is even
T(n+1) = T((n+1)/2) + (n+1)
       = T(n/2 + 1) + (n+1) if n is odd
       > T(n/2) + n + 1
       > T(n) + 1
T(n+1) > T(n)               if n is odd

所以T(n)（严格地）增加。因此，我们有2^p < n < 2^(p+1)：

T(n) / n < T(n) / 2^p < T(2^(p+1)) / 2^p = 2 * T(2^(p+1)) / 2^(p+1)

由于我们知道所有T(2^(p+1)) / 2^(p+1) < C的{{1}}，所以p和T(n) / n < 2 * C

会立即n

通过归纳证明计算复杂性

1 个答案: