使用归纳证明二叉树属性

Question

我无法使用感应证明二进制树属性：

Property 1 - A tree with N internal nodes has a maximum height of N+1
    base case - 0 internal nodes has a height of 0
    assume - a tree with k internal nodes has a maximum height of k+1 where k exists in n
    show - true for all k+1 or true for all k-1

Property 2 - A tree with a tree with N internal nodes has N + 1 leaf nodes
    base case - 0 internal nodes has 1 leaf node (null)
    assume - a tree with k internal nodes has k + 1 leaf nodes where k exists in n
    show - true for all k+1 or true for all k-1

我的设置是否正确？如果是这样，我该如何展示这些东西。我尝试过的所有东西都变得一团糟。谢谢你的帮助

Answer 1

你错过了一些事情。

对于属性1，您的基本案例必须与您要证明的内容一致。因此，具有0个内部节点的树必须具有最多0 + 1 = 1的高度。这是真的：考虑只有一个根的树。

对于归纳步​​骤，请考虑具有k-1个内部节点的树。如果它的高度最多为k（假设），则再添加一个节点只能将其提高到k + 1，而不是更高。因此，k-internal-node树的高度最多为k + 1。

属性2是错误的。反：

    5
  4  6
 3    7
2      8

5个内部节点，2个叶子。

所以你可能想要证明一些不同的东西。