从Big O表示法中消除最低增长期限

Question

我目前正在学习大O符号，但有一个概念令我感到困惑。如果对于8N ^ 2 + 4N + 3，复杂度等级将是N ^ 2，因为这是增长最快的术语。对于5N，复杂度等级为N.

那么说NLogN的复杂度类是N是正确的，因为N比LogN增长得快吗？

我试图解决的问题是，如果配置A包含一个快速算法，该算法需要5NLogN操作来对每秒运行10 ^ 6次操作的计算机上的列表进行排序，而配置B包含慢速算法它采用N ** 2操作对列表进行排序，并在每秒运行10 ^ 9次操作的计算机上运行。对于较小的阵列 配置1更快，但对于更大的阵列，配置2更好。这种过渡发生在什么尺寸的阵列上？

我想的是，如果我将表达式等于解决问题所花费的时间，那么我可以得到转换点的N但是产生了等式N ^ 2/10 ^ 9 = 5NLogN / 10 ^ 6这简化了到N / 5000 = LogN，这是不可解决的。

谢谢

Answer 1

在数学中，对于在实数上定义的两个实值函数的f = O(g)的定义是f(n)/g(n)在n接近无穷大时有界。换句话说，存在常量A，对于所有n，f(n)/g(n) < A都存在。

在您的第一个示例中，(8n^2 + 4n + 3)/n^2 = 8 + 4/n + 3/n^2在n接近无穷大（例如15）时有界，因此8n^2 + 4n + 3为O(n^2)。另一方面，当nlog(n)/n = log(n)接近无穷大时，n接近无穷大，因此nlog(n)不是O(n)。然而它是O(n^2)，因为nlog(n)/n^2 = log(n)/n是有界的（它在无穷远处附近为零）。

至于你的实际问题，请记住，如果你不能象征性地解决方程，你可以随时用数字解决它。解决方案的存在是明确的。

Answer 2

我们假设你的对数的底数是b，所以我们要比较

5N * log（b，N）

与

N ^ 2

5N * log（b，N）= log（b，N ^（5N））

N ^ 2 = N ^ 2 * log（b，b）= log（b，b ^（N ^ 2））

所以我们比较

N ^（5N），其中b ^（N ^ 2）

让我们比较它们并分析（N ^ 5N）/（b ^（N ^ 2））与1相比的相对值。您将观察到在一个限制后它小于1。

Answer 3

问：NLogN的复杂度等级是N？

是否正确？

答：不，这就是为什么我们可以忽略较小的术语：

考虑N ^ 2 + 1000000 N

对于N的小值，第二项是唯一重要的，但随着N的增长，这无关紧要。考虑比率1000000N / N ^ 2，其显示两个术语的相对大小。当N接近无穷大时，减小到10000000 / N，接近零。因此，随着N的增长，第二个词的重要性越来越小，实际上接近于零。

它不仅仅是'＃34;更小，＆＃34;与足够大的N无关。

对于被乘数而言并非如此。 n log n总是显着大于n，余量继续增加。

Answer 4

  

然后说NLogN的复杂度等级为N是正确的   因为N的增长速度比LogN快？

Nop，因为N和log（N）相乘而log（N）不是常数。

  

N / 5000 = LogN

大约55.000

Answer 5

  

然后说NLogN的复杂度等级为N是正确的   因为N的增长速度比LogN快？

不，当你省略时，你应该省略一个术语。当你有NLgN时，它总体上称为术语。根据您的建议：N N N =（N ^ 2）* N.由于N ^ 2的增长率较高，我们省略了N.这完全是 WRONG 。顺序是N ^ 3而不是N ^ 2。 NLgN以同样的方式工作。只有在添加/减去术语时才会省略。 例如，NLgN + N = NLgN，因为它的增长速度比N快。

  

我试图解决的问题是，如果配置A包含   一种快速算法，它采用5NLogN操作对a上的列表进行排序   每秒运行10 ^ 6次操作的计算机和配置B.   由一个慢速算法组成，该算法需要N ** 2个操作来对列表进行排序   并在每秒运行10 ^ 9次操作的计算机上运行。对于   较小的阵列配置1更快，但对于较大的阵列   配置2更好。这个过渡的数量是多少   发生？

这不可能是真的。这是绝对的OPPOSITE。对于小N值，具有N ^ 2的更快的计算机更好。对于非常大的N，具有NLgN的较慢的计算机更好。

重点在哪里？那么，第二台计算机比第一台计算机快1000倍。因此当N ^ 2 = 1000NLgN时它们的速度相等，这解决了N~14,500。因此，对于N <14,500，N ^ 2将更快（因为计算机快1000倍）但是对于N> 14,500，较慢的计算机将更快。现在假设N = 1,000,000。速度更快的计算机需要的速度比计算机速度慢50倍，因为N ^ 2 = 50,000 NLgN，速度提高了1000倍。

注意：计算是使用Big O进行的，其中省略了常数因子。并且使用的对数是基数2.在算法复杂度分析中，我们通常使用LgN而不是LogN，其中LgN是log N到基数2而LogN是log N到基数10。

但是，参考CLRS（好书，我建议阅读它），Big O定义为：  

请查看此图表以便更好地理解：

全部是关于N＆gt;不。所以Big O表示法的所有规则对于N的大值都是有效的。对于小N，它不一定正确。我的意思是，对于N = 5，Big O不一定要近似于运行时间。

我希望这能为这个问题提供一个好的答案。

参考：第3章第1节，[CLRS]算法简介，第3版。