证明所有前缀和都是非负的

Question

我们有一个具有n个整数的数组，其总和是非负的。

我需要证明存在索引i，这样从i开始，所有前缀和都是非负的，直到我们再次循环到达。

假设数组是 a ₁ ， ₂ ， ₃ ，.....，a _n ，这样 a ₁ + a ₂ + a ₃ + ..... + a _n ＆gt; = 0。

因此，我们需要证明对于某些索引i，所有前缀和都是非负的，即， a _i ＆gt; = 0，
a _i + a _{i + 1} ＆gt; = 0，
a _i + a _{i + 1} + a _{i + 2} ＆gt; = 0
。
。
a _i + a _{i + 1} + ... + a _n + a ₁ + .... + a _i-1 ＆gt; = 0

我需要以下问题https://www.interviewbit.com/problems/gas-station/。虽然我已经在这个问题的解决方案中使用了上述陈述，但我仍然无法证明这一点。

Answer 1

假设我们多次重复数组，然后构造这个重复数组的前缀和。前缀和将具有相同的模式，除了每次重复的数量高于数组的总和。

考虑前缀sum最小的索引x。这将发生在前n个样本中（如果数组的总和为正）。

如果你从这个位置x开始计算前缀和，那么所有后续前缀和将通过构造非负。

Answer 2

考虑到你需要证明存在至少1个属性所持有的索引的前提，我建议反之亦然（即对于它所持有的每个索引，至少有一个前缀和为负），然后推断出一个矛盾，暗示必须至少有一个索引拥有这个属性。

Answer 3

在所有索引对{j，k}中，存在一个具有最小（最大负）和（j，k）的对。设置i = k + 1。

如果存在一些序列a（i），a（i + 1），... a（i + n），n不在{j ... k}范围内，使得sum（i，n）是负的（即，负前缀和），那么这意味着sum（j，n）＆lt; sum（j，k），与我们的初始陈述相矛盾。 （这是正确的，因为sum（j，n）= sum（j，k）+ sum（k + 1，n）= sum（i，n），我们声明sum（i，n）为负数。）< / p>

如果在{j ... k}范围内存在一些n，使得sum（a，n）为负，那么这意味着sum（k + 1，j-1）+ sum（j，n） ＆LT;因为我们知道完全和是正的，所以sum（k + 1，j-1）+ sum（j，k）＆gt; 0（因为它包括所有元素。）因此，sum（j，n）＆lt; sum（j，k），这与我们的初始约束相矛盾。

QED