Question

给定一个数组a []的任意大小为N的整数为0的整数（例如，a [] = {-1,0,5,3，-9,2}），是否总有一个索引我（$ 0 \ le i \ le N-1 $）这样每个部分和$ S_j = \ sum_ {k = i} ^ j a_ {k \ pmod N} $（带$ N + i-1 \ ge j \ ge i $）是非负的？

在示例中a [] = {-1,0,5,3，-9,2}，其中$ a_0 = -1，a_1 = 0，... a_5 = 2 $（我们可以检查$ \ sum_ {k = 0} ^ {5} a_k = 0 $），我们可以从$ i = 5 $开始，这样部分总和为$ 2,1-1,2-1 + 0,2-1 + 0 + 5 ，2-1 + 0 + 5 + 3,2-1 + 0 + 5 + 3-9 $都是非负的。

如果我们能证明这样的索引$ i $总是存在，那么找到索引$ i $的有效算法是什么？有一个明显的$ O（N ^ 2）$算法，但我们可以用$ O（N）$来做吗？感谢。

注意：这个问题有点类似于另一个问题：给定一个整数数组$ a_0，a_1，a_2，...，a_n $（它们不必加起来为0），找到$ \ max_ { 0 \ le i \ le j \ le n} \ sum_ {k = i} ^ j a_k $。这可以及时解决$ O（n）$，如下：

int maxsum = INT_MIN;
int sum = 0;
for (int i=0; i < a.length(); ++i) {
    if (sum <= 0) { sum = a[i]; }
    else { sum += a[i]; }
    maxsum = max(sum, maxsum);
}

但在我原来的问题中，我们被允许循环，我们需要找到索引。所以这两个问题之间至少存在两个差异。

（糟糕，LaTeX在这个网站上不起作用......这就是为什么有美元符号浮动的原因......）

这是我在数学论坛上提出的问题：

https://math.stackexchange.com/questions/539923/finding-the-index-such-that-all-partial-sums-are-nonnegative

Answer 1

代码价值千言万语。它应该是正确的。我实际上并没有跑去检查。

c code：

int getTheIndex(int* a,int length){
 int min=a[0];
 int mini=0;
 int sum=a[0];
 for(int t=1;t<length;t++){
  sum+=a[t];
  if(min<sum){
   min=sum;
   mini=t;
  }
 }
 return mini;
}

找到一个索引，使所有部分和都是非负的

1 个答案: