证明以下语言是等效的

Question

我需要通过归纳证明以下语言是等效的：

P :: =ε| id | （P）

和

S :: =ε| id | （R

R :: =）| S）

需要证明：

L（P）= L（S）

我该怎么做？

我能够证明L（S）包含L（P），但我无法证明另一个方向。

Answer 1

要通过归纳出示证明，我们必须陈述要求，证明其在基本情况下是正确的，陈述假设，然后证明要求对下一个大小的情况成立。

我们的主张可以是“ L（P）和L（S）对于所有自然n都包含长度为n的相同字符串”。

我们的基本情况可以是两种语言中最小的最小字符串：L（P）和L（S）都包含空字符串，唯一的零长度字符串；因此L（P）和L（S）都包含id，这是长度为2的语言中唯一的字符串（假设i和d是不同的符号；如果id是一个符号，则这些字符串的长度为一）。因此，该索赔最多可保留n = 2（或n = 1，视情况而定）。

我们可以使用强归纳法，而不是普通归纳法，如下：L（P）和L（S）包含所有相同的长度不超过k的字符串。

现在，我们必须证明，对于第二长的字符串，一种语言中包含的任何字符串都包含在另一种语言中，反之亦然。

1. 让w是L（P）中下一个更高长度的字符串。由于| w |，用于导出w的第一个乘积必须是P :: =（P）。 > 2（或| w |> 1），我们已经介绍了较小的情况。然后w =（w'），其中w'是L（P）中的字符串，| w'| <| w |。但是w在L（P）中的下一个长度大于k，因此w'的长度必须小于或等于k。但是，根据归纳假设，w'必须同时在L（P）和L（S）中。因此，推导S :: =（R :: =（S）:: =（w'）是有效的并产生w。因此，w在L（S）中。
2. 让w是L（S）中下一个更高长度的字符串。用于推导w的第一个产品必须为S :: =（R，下一个产品必须为R :: =）或R :: = S）。让我们分别考虑这些情况。
   • 如果第二个产生式是R :: =，则w = S :: =（R :: =（），我们可以用两种语言来验证它（或者我们可以仅依靠归纳假设）。 / li>
   • 如果第二个产生式为R :: = S），则w = S :: =（R :: =（S），所以w的形式为（w'）其中| w'| <| w | 。由于w的下一个更大长度大于k，因此w'的长度小于或等于k，并且由P的语法生成。