证明以下语言是正常的：

Question

让L1，L2为常规语言。并让A1 = 〈Σ，Q，q0,1，F1），A2 = 〈Σ，P，p0,2，F2）作为他们的DFA。

通过为其制定适当的NFA来证明以下语言是常规语言：

3 = {11'22'...'| 12 ...∈1,1'2'...'∈2}（意思是偶数位置（从0开始）的字母来自的所有单词的语言L1和奇数位置的字母来自L2。

希望对此有所帮助。 谢谢。

Answer 1

考虑以下自动机：

• 字母Σ
• 状态集（Q x P）并集（P x Q）
• 初始状态（q0，p0）
• 最终状态（f1，f2），其中f1和f2分别位于F1和F2中
• 转换函数，如果1在s上将q取到q'，则在符号s上将（q，p）取到（p，q'），在符号s上取（p，q）到（q，p'）如果A2在符号s上将p带到p'。

假设您在L3中有一个单词w。我们的机器接受吗？序列1、2，...，n将导致自动机到达的状态的第一部分与仅处理此序列的A1会到达的状态A1相同。由于L3表示w中的这个序列是L1中的一个单词，因此状态应该已经在A1中接受，因此第一个成分在F1中。同样，序列1'，2'，…，n'是L2中的字符串，因此它到达的状态为接受。因此，此NFA所达到的状态为（f1，f2）形式，因此必须接受字符串。我们刚刚争论过，NFA至少接受这种语言的字符串。剩下的就是争辩说它不接受其他任何东西。

幸运的是，该参数的其余部分很简单，我们可能可以与上面的参数同时进行。它遵循相同的格式。假设我们的NFA到达接受状态之一。然后是（f1，f2）的形式。这意味着我们看到了偶数长度的字符串，其中一起考虑的奇数索引符号在A1中导致f1，而偶数索引符号在A2中导致f2。但这意味着序列正在各自的自动机中接受，因此导致我们进入机器接受状态的字符串必须是L3中的一个单词。我们刚刚争论过，NFA最多只能接受该语言中的 字符串。

由于我们的机器至少接受我们需要的字符串，并且最多接受我们需要的字符串，因此它可以完全接受我们需要的字符串。