g（n）∈O（f（n））是否意味着f（n）∈Ω（g（n））？

Question

我只想了解Big O和Big Omega的工作原理。我知道Big O意味着没有比这更好，而Big Omega意味着没有比运行时更糟糕的了。所以如果我有一个函数 g （ n ），那么 g （ n ）= O < / em>（ f （ n ））那么我可以说 f （ n ）=Ω（< EM>克（名词））？

Answer 1

符号方式，最好写 g （n）∈ O （ f （ n ）），因为“ O （ f （ n ））”可以看作是所有函数的 set 增长速度不超过 f （ n ）的倍数。

让我们重申复杂性理论中使用的两个相关的形式定义：

• g （n）∈ O （ f （ n ））⇔∃ k < / em>＆gt; 0∃ N ≥0∀ n ≥ N [| g （ n ）| ≤ k ·| f （ n ）|]
• f （n）∈Ω（ g （ n ））⇔∃ k < / em>＆gt; 0∃ N ≥0∀ n ≥ N [ f （ n < / em>）≥ k · g （ n ）]

如果我们可以假设 f 和 g 是非负函数（计算机科学中使用的函数几乎总是如此），那么我们可以放弃绝对值标志。因此：

• g （n）∈ O （ f （ n ））⇔∃ k < / em>＆gt; 0∃ N ≥0∀ n ≥ N [ g （ n < / em>）≤ k · f （ n ）]
• f （n）∈Ω（ g （ n ））⇔∃ k < / em>＆gt; 0∃ N ≥0∀ n ≥ N [ f （ n < / em>）≥ k · g （ n ）]

接下来，翻转第二个逻辑语句中的不等式：

• g （n）∈ O （ f （ n ））⇔∃ k < / em>＆gt; 0∃ N ≥0∀ n ≥ N [ g （ n < / em>）≤ k · f （ n ）]
• f （n）∈Ω（ g （ n ））⇔∃ k < / em>＆gt; 0∃ N ≥0∀ n ≥ N [ k · g < / em>（ n ）≤ f （ n ）]

现在让我们证明第一个陈述的右边隐含第二个陈述的右边：

1. 假设∃ k ＆gt; 0∃ N ≥0∀ n ≥ N [ g （ n ）≤ k · f （ n ）]为真。
2. 实例化 k ＆gt; 0，满足∃ N ≥0∀ n ≥ N [ g （ n ）≤ k · f （ n ）]。
3. 让 k '= 1 / k ，这是合法的，因为 k ≠0。
4. 实例化 N ≥0满足∀ n ≥ N [ g （ n < / em>）≤ k · f （ n ）]。
5. 让 n 为任意数字，使 n ≥ N 。
6. 然后我们 g （ n ）≤ k · f （ n ）。
7. 接下来我们 g （ n ）/ k ≤ f （ n ）。
8. 通过替换，我们有 k ' g （ n ）≤ f （ n ）。
9. 因为 n 是任意的，我们推导出∀ n ≥ N [ k '· g （ n ）≤ f （ n ）]。
10. 我们得出满足∀ n ≥ N [ k ' N ≥0 > g （ n ）≤ f （ n ）]。
11. 我们推导出∃ k'＆gt; 0∃ N ≥0∀ n ≥ N [ k ' g （ n ）≤ f （ n ）]。
12. 我们将 k'重命名为 k ，以便∃ k ＆gt; 0∃ N ≥0∀< em> n ≥ N [ k · g （ n ）≤ f < / em>的（名词的）。
13. 因此[∃ k > 0∃ N ≥0∀ n ≥ N [ g （ n ）≤ k · f （ n ）]]暗示[∃ k ＆gt;0∃ N ≥0∀ n ≥ N [ k · g （ n ）≤ f （ n ）]]。
14. 因此 g （n）∈ O （ f （ n ））暗示 f < / em>（n）∈Ω（ g （ n ）），如所需。