Question

给出PHP中的两个函数，比如说

function f($n) {
    return $n;
}

function g($n) {
    return pow($n, (2/3));
}

如何在PHP中检查函数f（n）是否为Ω（g（n）），Θ（g（n））或O（g（n））？

到目前为止我尝试了什么：

$n = INF;

$A = f($n) / g($n);

if ($A == 0) {
    echo "f(n) = O(g(n))";
} elseif (is_infinite($A)) {
    echo "f(n) = Ω(g(n))";
} elseif ($A != 0) {
    echo "f(n) = Θ(g(n))";
}

不应该这样吗？

Answer 1

你的基本想法是正确的：当n无限制地增长时，你必须找到f（n）/ g（n）的极限。遗憾的是，没有简单的方法来计算PHP中的确切限制，因为这需要符号计算，最好留给计算机代数系统，如Mathematica或Maxima。

您可以通过计算f（n）/ g（n）来增加n的值，并查看是否得到接近固定值的序列来近似限制。例如：

$n=1;
while ($n < 1e300) {
    $A = f($n)/g($n);
    echo $A, "\n";
    $n *= 1e12;
}

在这种特殊情况下，f（n）/ g（n）的序列似乎无限制地增长，因此数值证据表明f（n）为Ω（g（n））。这不是证明;需要有象征性的方法。

Answer 2