如何在没有将set定义为元素列表的情况下定义coq中的set

Question

我试图将（1,2,3）定义为coq中的一组元素。我可以使用list定义它（1 ::（2 ::（3 :: nil）））。有没有办法在不使用列表的情况下在coq中定义set。

Answer 1

在Coq中定义集合时，基本上有四种可能的选择，具体取决于您对集合的基本类型和计算需求的约束：

• 如果基类型没有可判定的相等性，则通常使用：

  Definition Set A := A -> Prop
  Definition cup A B := fun x => A x /\ B x.
  ...
  

  基本上，Coq的Ensembles。这种表示不能“计算”，因为我们甚至无法确定两个元素是否相等。

• 如果基本数据类型具有可判定的相等性，那么根据是否需要扩展性，有两种选择：

  • 扩展性意味着两个集合在Coq的逻辑中是，如果它们具有相同的元素，那么正式：

    forall (A B : set T), (A = B) <-> (forall x, x \in A <-> x \in B).
    

    如果需要扩展性，则集合应由规范排序的无重复结构表示，通常是列表。一个很好的例子是Cyril的Cohen finmap库。然而，这种表示对于计算是非常低效的，因为每次修改集合时都需要重新排序。

  • 如果不需要扩展性（如果需要证明通常是个坏主意），您可以使用基于二叉树的表示，例如Coq的MSet，它类似于标准的功能编程集实现，并且可以高效工作。

• 最后，当基类型是有限的时，所有集的集合也是有限类型。这种方法的最好例子是IMO math-comp的finset，它将有限集编码为有限支持的隶属函数的空间，这是扩展的，并形成一个完整的格。

Answer 2

coq的标准库提供以下有限集模块：

1. Coq.MSets抽象出集合的实现细节。例如，有an implementation that uses AVL trees和another based on lists。
2. Coq.FSets抽象出集合的实现细节;它是MSets的先前版本。
3. Coq.Lists.ListSet是列表的集合编码，为了完整起见我将其包括在内

以下是如何使用FSets定义集合的示例：

Require Import Coq.Structures.OrderedTypeEx.
Require Import Coq.FSets.FSetAVL.

Module NSet := FSetAVL.Make Nat_as_OT.
(* Creates a set with only element 3 inside: *)
Check (NSet.add 3 NSet.empty).

Answer 3

Coq（列表，函数，树，...）中的集合编码有很多，可以是有限的也可以是有限的。你应该看一下Coq的标准库。例如，最简单的＆＃39;我知道的定义是this one