Question

我尝试使用Coq的listSet来创建set nats。但是，在向集合添加成员时遇到问题。

以下是我正在运行的代码。

Require Import ListSet Nat.

Axiom eq_dec : forall x y : nat, {x = y} + {x <> y}.

Compute (set_add eq_dec 0 (set_add eq_dec 0 nil)).

运行时，输出为

=如果eq_dec 0 0则（0 :: nil）％list else（0 :: 0 :: nil）％list ：设置nat

现在，我知道为什么我在输出中得到if-else语句。这是因为我只告诉Coq，nats上的平等是可判定的，但没有评估平等。我也知道如何来比较两个nats。代码如下。

Fixpoint nats_equal (m n : nat) : bool :=
  match m, n with
    | 0, 0 => true
    | 0, _ => false
    | _, 0 => false
    | S m', S n' => nats_equal m' n'
  end.

但是，我无法将两者串在一起以获得所需的输出

（0 :: nil）％list：set nat

我很感激任何帮助。

Answer 1

你的函数nats_equal字面上并不是你编写的eq_dec公理的实现，因为它返回一个没有相关证明的布尔值。您可以使用Coq的策略创建定义，将您的公理变成一个定义。将Defined.放在末尾意味着该定义是透明的，因此Coq可以使用它进行计算，但除此之外，这与启动Theorem，证明它并以{{结束它'时相同。 1}}。

Qed

在这种情况下，证明很容易，因为Coq有一个内置的策略来证明可判定的相等性，即使对于递归类型也是如此。

也就是说，nats的可判定平等已经在标准库中了，所以你不需要自己定义它：

Definition eq_dec : forall x y : nat, {x = y} + {x <> y}.
  decide equality.
Defined.

如果您导入PeanoNat，可以使用更好的名称(* how to even search for the type in eq_dec? *) Locate "{". (* Notation "{ A } + { B }" := sumbool A B : type_scope (default interpretation) *) (* now we know what the notation means and can search for it: *) Search sumbool nat. (* PeanoNat.Nat.eq_dec: forall n m : nat, {n = m} + {n <> m} *) (* alternately, we can use some more specific searches: *) Search (forall (_ _:nat), {_ = _} + {_ <> _}). Search ({@eq nat _ _} + {_ <> _}). (* same as above, but use special notation for equality at a specific type *) Search ({_ = _ :> nat} + {_ <> _}).来引用它。

Coq - 覆盖相等概念以添加元素以设置

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