如何在Coq中定义N个元素的有限集？

Question

如何定义一般参数N：nat，N个元素的有限集合，$ A_ {0}，... A_ {N-1} $？ 是否有一种优雅的方式通过递归定义来做到这一点？有人能指出我对这种结构进行推理的好例子吗？

Answer 1

一个非常方便的解决方案是将n序数'I_n定义为记录：

Record ordinal n := {
    val :> nat;
    _   : val < n;
}.

也就是说，一对自然数，加上证明这样的自然数小于n，其中< : nat -> nat -> bool。在这里使用可计算的比较运算符非常方便，特别是意味着证明本身不是非常“重要”，这是你通常想要的。

这是math-comp中使用的解决方案，它具有很好的属性，主要是val，val_inj : injective val的注入性，这意味着您可以重用{{1}上的大部分标准操作1}}使用您的新数据类型。请注意，您可能希望将添加定义为nat或add i j := max n.-1 (i+j)。

此外，上面链接的库提供了使用有限类型的一般定义，包括将它们双射到它们的基数序数。