Question

乘法算法用于乘以两个基数r数：

0 <= x,y < r^n
x = x1 * r^(n/2) + x0
y = y1 * r^(n/2) + y0

其中x0是包含最低有效数字的x的一半，而x1是具有最高有效数字的一半，而y则类似。< / p>

因此，如果r = 10和n = 4，我们会x = 9723 = 97 * 10^2 + 23，其中x1 = 97 and x0 = 23。

乘法可以完成：

z = x*y = x1*y1 + (x0*y1 + x1*y0) + x0*y0

所以我们现在有四个半数数的乘法（我们最初有一个n位数的乘法，现在我们有四个n/2个数字的乘法。）

我认为这个算法的重现是：

T(n) = O(1) + 4*T(n/2)

但显然是T(n) = O(n) + 3T(n/2)

无论哪种方式，解决方案都是T(n) = O(n^2)，我可以看到这一点，但我想知道为什么有一个O（n）术语而不是O(1)术语？

Answer 1

你是对的，如果你用天真的计算术语In [1]: response.xpath('//h2[@class="media-heading text-strong"]/text()') Out[1]: [] In [2]: response.xpath('//h2[@class="media-heading text-strong"]/text()') Out[2]: [] In [3]: response.xpath('//div/span[.="Contact Name:"]/following-sibling::div[1]/text()') Out[3]: [] In [4]: response.xpath('//div/span[.="Phone:"]/following-sibling::div[1]/text()') Out[4]: []，使用两种产品，时间复杂度是二次的。这是因为我们提供了四种产品，并且按照您的建议，重复发生x0*y1 + x1*y0，它解决了T(n) = O(n) + 4T(n/2)。

然而，Karatsuba观察O(n^2)，我们让xy=z2 * r^n + z1 * r^(n/2) + z0，z2=x1*y2和z0=x0*y0，并且可以将最后一个词表达为z1=x0*y1 + x1*y0 ，仅涉及一种产品。使用这个技巧，重复确实变为z1=(x1+x0)(y1+y0)-z2-z0因为我们完全做了三个产品（而不是四个如果不使用技巧）。

由于数字为T(n) = O(n) + 3T(n/2)，我们需要r^n个数字来表示数字（通常，对于固定的n，我们需要r>=2个数字来表示数字O(log N)）。要添加该订单的两个数字，您需要“触摸”所有数字。由于有N个数字，您需要n（正式我要说O(n)，意思是“至少Omega(n)时间的顺序”，但是让我们将这些细节放在一边）时间计算他们的总和。

例如，在计算产品n时，位数N*M将为n（假设基数max(log N, log M)不变）。

在Karatsuba algorithm的Wiki页面上更详细地解释了代数技巧。

这个乘法算法的递推方程是什么？

1 个答案: