从这个递推公式中扣除时间复杂度？

Question

我正在阅读关于SO的时间复杂度计算相关问题，但我无法在那里发表评论（没有足够的代表）。 What's the time complexity of this algorithm for Palindrome Partitioning?

我有一个关于从第1到第2个等式的问题：

  

现在你可以为H（n-1）编写相同的表达式，然后替换回来   简化：

     

H（n）= 2 H（n-1）+ O（n）=========>等式1

     

这解决了

     

H（n）= O（n * 2 ^ n）=========＆gt;等式2

有人可以说明他是如何从Eq.1获得Eq.2的吗？谢谢。

Answer 1

等式1.是recurrence relation。请参阅链接以获取有关如何解决这些类型方程的教程，但我们可以通过扩展解决如下：

H(n) = 2H(n-1) + O(n)
H(n) = 2*2H(n-2) + 2O(n-1) + O(n)
H(n) = 2*2*2H(n-3) + 2*2O(n-2) + 2O(n-1) + O(n)
...
H(n) = 2^n*H(1) + 2^(n-1)*O(1) + ... + 2O(n-1) + O(n)

since H(1) = O(n) (see the original question)
H(n) = 2^n*O(n) + 2^(n-1)*O(1) + ... + 2O(n-1) + O(n)
H(n) = O(n * 2^n)

Answer 2

我们需要对方程进行均匀化，在这种简单的情况下，只需在每一侧加一个常数即可。首先，指定O（n）= K以避免在此阶段使用O符号进行处理：

H（n）= 2 H（n-1）+ K

然后在每一边添加一个K：

H（n）+ K = 2（H（n-1）+ K）

设G（n）= H（n）+ K，然后

G（n）= 2G（n-1）

这是一个众所周知的齐次1阶重复，用解决方案

G（n）= G（0）×2 ⁿ = G（1）×2 ^n-1

由于H（1）= O（n），G（1）= H（1）+ K = O（n）+ O（n）= O（n），

G（n）= O（n）×2 ^n-1 = O（n×2 ^n-1 ）= O（n×2 ^ñ）

和

H（n）= G（n） - K = O（n×2 ⁿ ） - O（n）= O（n×2 ⁿ ）< / p>

Answer 3

他们错了。

我们假设O指的是紧束缚，用O(n)代替c * n代替常量c。展开你会得到的递归：

完成展开递归n = i和b = T(0)。

后

现在找到总和：

总结一下，你会得到：

现在很明显T(n) O(2^n)没有任何n

对于仍然对数学持怀疑态度的人：

• F(n) = 2F(n-1) + n
的解决方案
• F(n) = 2F(n-1) + 99n
的解决方案